Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Признак Вейерштрасса

Если для функционального ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] можно указать такой сходящийся числовой ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}[/latex], что для всех [latex]n\geq n_{0}[/latex] и для всех [latex]x \in \varepsilon[/latex] выполняется условие [latex]\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}[/latex] то ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] сходится абсолютно и равномерно на множестве [latex]E [/latex]

Доказательство

Согласно условию [latex]\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}[/latex] для любого [latex]n\geq n_{0}[/latex], любого [latex]p \in N[/latex] и для каждого [latex]x \in \varepsilon[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}[/latex]. Из сходимости ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}[/latex] следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x) \right | < \varepsilon [/latex], и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Абсолютная сходимость ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] для каждого [latex]x \in \varepsilon[/latex] следует из правого неравенства [latex]\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}[/latex]

Признак Дирихле

Ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex], если выполняются условия:

  • последовательность [latex]\left \{B_{n} (x) \right \}[/latex], где [latex]B_{n} (x) = \sum\limits_{n}^{k = 1}b_{k}(x)[/latex], равномерно ограничена на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex]\exists M > 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M[/latex]
  • последовательность [latex]\left \{a_{n} (x) \right \}[/latex] монотонна на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex] \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow a_{n+1} (x) \leq a_{n} (x)[/latex] и равномерно стремится к нулю, т.е. [latex]a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E[/latex]

Доказательство

Воспользуемся оценкой [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)[/latex], полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие [latex]a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E[/latex] означает, что [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M[/latex], [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)[/latex] и [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{4M}[/latex] следует, что для всех [latex]n \geq N_{\varepsilon}[/latex], для всех [latex]p \in N[/latex] и для всех [latex]x \ in E[/latex] выполняется неравенство [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x) \right | < \varepsilon[/latex], и в силу критерия Коши ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Признак Абеля

Ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex], если выполняются условия:

  • ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex];
  • последовательность [latex]\left \{a_{n} (x) \right \}[/latex] монотонна на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex]\forall n \in N \forall x \in E \rightarrow a_{n+1}(x)\leq a_{n}(x)[/latex] и равномерно ограничена, т.е.[latex]\exists M > 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M[/latex]

Доказательство

Обозначим [latex]B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x)[/latex]. Тогда ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] удовлетворяет условию Коши, т.е. [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M[/latex] и [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{3M}[/latex], получаем [latex]\left | \sigma \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right |< \varepsilon[/latex], и по критерию Коши ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Список литературы:

Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Вопросы для усвоения темы :»Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле»


Таблица лучших: Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *