Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

Спойлер

Обозначим \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция \varphi непрерывна на \left[a;b\right]. Положим g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt. Применим на отрезке с концами x_{0} и xтеорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности \left \{ f'_{n}(t) \right \}. Тогда получим
g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0}). Тогда из равенства g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})) следует, что существует и \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x), т.е. мы показали, что последовательность \left \{ f_{n}(x) \right \} сходится на \left[a;b\right]. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x) и получим, что g(x)=f(x)-f(x_{0}), а так как функция g дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции \varphi) и g'(x)=\varphi (x)(в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция f также дифференцируема и f'(x)=\varphi (x), т.е. функция f имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Осталось показать, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} сходится к функции f равномерно на \left[a;b\right]. Имеем
\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |.
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших n, а первое оцениваем так:
\left | \int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f'_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f'_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt.
Теперь остается учесть, что последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится к функции \varphi равномерно на \left[a;b\right], и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x).

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

Спойлер

Зададим \varepsilon > 0. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности \left \{ f'_{n} \right \}, существует такой номер N, что для всех n, m\geq N и для любого x\in \left[a;b\right] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим \varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x). Тогда \left | \varphi {}'_{n,m}(x) \right |< \varepsilon и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x). Далее, для n,m\geq N имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим n\rightarrow \infty и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем m\geq N и найдем такое \delta >0, что для всех h, удовлетворяющих условию 0< \left | h \right |< \delta , справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве \left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon (n, m\geq N) перейдем к пределу при n\rightarrow \infty (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

[свернуть]

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *