Задача из журнала «Квант» (1999, №4)

Условие

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Третья окружность с центром в точке $P$ пересекает первую в точках $A$, $B$, а вторую в точках — $C$ и $D$ (см. рисунок). Докажите, что углы $AQD$ и $BQC$ равны.

Решение

Треугольники $APB$ и $DPC$ равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях $\angle ABP =\angle BAP = \alpha$, $\angle DCP =\angle CDP = \beta$. Четырехугольники $AQBP$ и $DQCP$ вписанные, отсюда $\angle AQP =\angle ABP = \alpha$ и $\angle DQP =\angle DCP = \beta$. Получаем: $\angle AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta$. Далее, $\angle BQP =\angle BAP = \alpha$, также $\angle CQP = \beta$ и $\angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta$. Значит, $\angle AQD = \angle BQC$.