Задача из журнала «Квант» (1995 №2)

Условие

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$, $D$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с описанной окружностью. Докажите, что если $\angle A> \angle C$, то

$\sin A / \sin C- \sin \angle CDK/ \sin \angle BDK=1.$

Доказательство

Пусть углы $A, B, C$ треугольника равны $2\alpha, 2\beta, 2\gamma$ соответственно. Биссектриса внутреннего угла $B$ пересекает дугу $AC$ описанной окружности в точке $L$, диаметрально противоположной $D$(рис. 1).

Рис. 1

Положим $\angle CBD=\delta, \angle BCD=\varepsilon$. Используя теорему синусов(для $\vartriangle DBK$ и $\vartriangle CDK$), теорему о биссектрисе треугольника ($BK/KC = AB/AC = \sin 2\gamma / \sin 2\beta$) и формулу

$2 \sin \varphi \cos\psi = \sin(\varphi + \psi) — \sin(\psi — \varphi)$,

получаем

$\frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} =$ $\frac{KC \sin \varepsilon}{KB \sin \delta} =$ $\frac{ \sin 2\beta \cdot \sin \frac{\pi — 4\gamma — 2\beta}{2}}{\sin 2\gamma \cdot \sin \frac{\pi — 2\beta}{2}} =$

$\frac{2 \sin \beta \cos \beta \cos(2\gamma + \beta)}{\sin2\gamma \cos \beta} =$ $\frac{\sin(2\beta + 2\gamma)}{\sin2\gamma} — 1 =$ $\frac{\sin2\alpha}{\sin2\gamma} — 1$

что и требовалось доказать.

Замечание

Если $\angle A< \angle C$ (как на рисунке 2), то меняется лишь знак в формуле

$\sin \varepsilon = \sin(2\gamma + \beta — \pi /2)= — \cos (2\gamma + \beta)$

а $\sin \delta$ по-прежнемe равен $\sin( \beta + \pi /2) = \cos \beta$, так что равенство в условии принимает вид

$\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = 1$

Рис. 2