Задача из журнала «Квант» (1991)

Условие

Пусть $I$ — центр вписанной окружности в треугольнике $ABC$, $R$ — радиус описанной окружности. Докажите, что

$${R}^{3}\geq IA\cdot IB\cdot IC.$$

Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, $x, y, z$ — отрезки, на которые точки касания с вписанной окружностью разбивают его стороны. Поскольку радиус $R$ равен половине отношения стороны к синусу к синусу противоположного угла (теорема синусов), а отрезки $IA, IB, IC$ выражаются через $x, y, z$ и углы из прямоугольных треугольников , требуемое неравенство можно переписать так: $\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}\geq$$\frac{xyz}{\cos\left(\alpha/2\right)\cos\left(\beta/2\right)\cos\left(\gamma/2\right)}$ или $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq$$64xyz\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)$

С другой стороны, пользуясь теоремой косинусов, получаем $\sin^2\left(\alpha/2\right)=$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=$$\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}=$$\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}.$

Аналогично,

$$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)},$$ $$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)},$$ тогда $\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)=$$\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}$ и неравенство имеет вид $${\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\geq8xyz,$$ для доказательства которого достаточно перемножить три очевидных неравенства:

1. $x+y\geq2\sqrt{xy}.$
2. $y+z\geq2\sqrt{yz}.$
3. $x+z\geq\sqrt{xz}.$

Еще одно решение задачи можно получить, используя равенства:

• $IA=\frac{r}{\sin\left(\alpha/2\right)}.$
• $IB=\frac{r}{\sin\left(\beta/2\right)}.$
• $IC=\frac{r}{\sin\left(\gamma/2\right)}.$

$$r=4R\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right).$$ Имеем: $R^2\geq4r^2,$ т. е. $R\geq2r.$

Это хорошо известное неравенство можно доказать чисто геометрически (например, опираясь на то, что радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$, равный $R/2$, не меньше $r$).

Н. Васильев. В. Сендеров. А.Соловьев