Задача

На сторонах треугольника $ABC$ расположены
точки $A’, B’$ и $C’$ (см. рисунок). При этом известно,что $AA’ \leq 1, BB’ \leq 1$ и $CC’ \leq 1$.
Докажите, что площадь треугольника не превосходит $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Решение

Пусть треугольник $АВС$ неостроугольный: $\angle BAC \geq \displaystyle\frac{\pi}{2}$. Тогда $AB \leq B’B \leq 1, h_c \leq CC’ \leq 1$ и $S_{\triangle ABC} \leq \displaystyle\frac{1}{2} < \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$.

В случае остроугольного $\triangle ABC$ высоты опущены на сами стороны (а не на их продолжения). Если $\angle BAC$ – наименьший угол треугольника, то, очевидно, $\angle BAC \leq \displaystyle\frac{\pi}{3}$.
Поскольку $h_a \leq 1$, то из этого следует, что $\text{min} \{AB, AC\} \leq \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}$.
Значит, $S_{\triangle ABC} \leq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$.

В.Сендеров