М698. Задача о центрах прямоугольников

Условие

На сторонах $a, b, c, d$ вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c, b\times d,$$c\times a, d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а)параллелограмма, б)прямоугольника.

Решение

а) Пусть $M, P, N, Q$ — центры прямоугольников, построенных на сторонах $AB, BC, CN, DA$ вписанного четырехугольника $ABCD$ (см. рисунок).
Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180\textdegree$ , а прямоугольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то $\angle MBP = \angle NDQ$ и $\angle NCP = \angle MAQ$ (мы рассматриваем углы, меньшие $180\textdegree$). Таким образом, треугольник $MBP$ подобен $NDC$ и треугольник $NCP$ подобен $MAQ$. Отсюда $\mid MP \mid = \mid NQ \mid$ и $\mid NP \mid = \mid MQ \mid$, а это означает, что четырехугольник $MPNQ$ — параллелограмм.
б) Можно считать, что сторона $MQ$ параллелограмма видна из точки $A$ изнутри параллелограмма, сторона $PN$ видна из точки $C$ снаружи и, аналогично, сторона $MP$ видна из точки $B$ изнутри, а сторона $NQ$ из точки $D$ видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке. Докажем, что, $\angle MPN + \angle NQM = 180\textdegree$ (отсюда будет следовать, что $\angle MPN = \angle NQM = 90\textdegree$). Эта сумма, очевидно, равна $\angle BPC + \angle DQA = 180\textdegree$, поскольку $\angle BPM = \angle DQN$, а $\angle CPN = \angle AQM$.