В одномерном случае формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа содержится в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция γ на отрезке [α,β] имеет непрерывные производные до порядка q включительно, а на интервале (α,β) существует производная порядка q+1. Тогда справедливо равенство γ(β)—γ(α)=
γ′(α)1!⋅(β−α)+γ′′(α)2!⋅(β−α)2++γ(q)(α)q!⋅(β−α)q+γ(q+1)(ξ)q+1!⋅(β−α)q+1,
где ξ — некоторая точка из интервала (α;β).
Аналог этой теоремы в многомерном случае может иметь следующий вид.
Теорема. Пусть действительная функция f класса Cq+1 на открытом множестве E⊂Rn и пусть отрезок [a,a+h]⊂E. Тогда справедливо равенство: f(a+h)−f(a)=
=n∑i=1∂f∂xi(a)hi+12!n∑i,j=1∂2f∂xixj(a)hihj+⋯+
+1q!n∑i1,⋯,iq=1∂qf∂xi1⋯∂xiq(a)hi1⋯hiq+Rq,
где Rq=1q+1!n∑i1,⋯,iq+1=1∂q+1f∂xi1⋯∂xiq+1(a+θh)hi1⋯hiq+1,
а θ — некоторое число из отрезка [0,1].
Положим γ(t)=f(a+th)(0⩽t⩽1). Ранее была доказана лемма(12.4 стр.283), согласно которой функция γ дифференцируема и её производная
γ′(t)=n∑i=1∂f∂xi(a+th)hi,(0⩽t⩽1).
Снова применяя эту лемму получим
γ′′(t)=n∑i,j=1∂2f∂xi∂xj(a+th)hihj.
По индукции получаем
γp(t)=n∑i,⋯,ip=1∂pf∂xi1⋯∂xip(a+th)hi1⋯hip,(0⩽p⩽q+1)
Применяя теперь формулу Тейлора для функции γ, находим
γ(1)−γ(0)=γ′(0)+12!γ′′(0)+⋯+1q!γ(q)(0)+1(q+1)!γ(q+1)(θ),
где 0⩽θ⩽1 Если воспользуемся найденными выражениями для производных функции γ и учтем, что γ(1)−γ(0)=f(a+h)−f(a), то получим требуемое равенство.
Примеры решения задач
-
Найти разложение функции по формуле Тейлора второго порядка в окрестности точки M0(2,1). f(x,y)=x2⋅2x−3y, используя найденное разложение, найти приближенное значение функции в точке M(2,05;0,98).
Решение
Вычислим все необходимое для решения:
f(2;1)=22⋅22−3=2;
∂f∂x=2x⋅2x−3y+x2⋅2x−3y⋅ln2;∂f∂y=−3x2⋅2x−3y⋅ln2
∂f∂x(2;1)=2⋅22−3(2+2ln2)=2(1+ln2); ∂f∂y(2;1)=−3⋅4⋅22−3⋅ln2=−61ln2
∂2f∂x2=2x−3y(2+4xln2+x2ln22);∂2f∂x∂y=−3x⋅2x−3y(2+xln2)ln2;∂2f∂y2=9x2−2x−3y⋅ln22;
∂2f∂x2(2;1)=1+4ln2+2ln22;∂2f∂x∂y(2;1)=−6(1+ln2)ln2;∂2f∂y2(2;1)=18ln22;Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции:f(x;y)≈2+(2(1+ln2)(x−2)−6ln2(y−1))+ 12[(1+4ln2+2ln22)(x−2)2−12(1+ln2)ln2(x−2)(y−1)+18ln22(y−1)2]
Найдём приближенное значение f(2,05;0,98)≈2,087.
Формула Тейлора для действительных функций
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.
Список использованной литературы
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.7 стр. 292
