Последовательности точек в $R^{n}$

Если каждому натуральному числу ν поставлена в соответствие точка $x_{v}\in R^{n},$ то говорят, что задана последовательность { $x_{ν}$ } точек из $R^{n}.$

Точка $x$ называется пределом последовательности точек $x_{ν} (ν=1,2,\ldots),$ если для любого $\displaystyle\eps > 0$ существует такое $N$ , что для всех $ν \geqslant N$ справедливо неравенство $\displaystyle|x_{ν} − x| < \eps.$

Эквивалентное геометрическое определение может быть сформулировано следующим образом.

Точка $x$ называется пределом последовательности точек $x_{ν}(ν = 1, 2,\ldots),$ если в любой окрестности точки $x$ содержатся все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа, т. е. какой бы шар с центром в точке $x$ мы ни взяли, в него попадут все точки $x_{ν}$ , кроме, быть может, конечного их числа. Предел $x$ последовательности { $x_{ν}$ } обозначают, как обычно,

$\lim_{v\to+\infty}x_{v}$

Теорема. (единственность предела)
Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Действительно, если у последовательности { $x_{ν}$ } есть два предела $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ и $x^{\prime\prime}\neq x^{\prime},$ то построим непересекающиеся окрестности $V^{\prime}$ $V^{\prime\prime}$ точек $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime}$ , соответственно (для этого достаточно взять шары с центрами в точках $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime},$ радиусы которых равны половине расстояния между точками $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime}$ ). Поскольку $x^{\prime} = \displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v},$ то в окрестности $V^{\prime}$ содержатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Аналогично, поскольку $x^{\prime\prime} \displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v} ,$ то в окрестность $V^{\prime\prime}$ попадают все элементы последовательности { $x_{ν}$ }, начиная с некоторого номера. Но это невозможно, поскольку окрестности $V^{\prime}$ и $V^{\prime\prime}$ не пересекаются.

Последовательность { $x_{ν}$ } называется ограниченной, если ограничено множество значений этой последовательности.
Равносильное определение: последовательность { $x_{ν}$ } называется ограниченной, если существует такое число $M$ , что $|x_{ν}| \leqslant M (ν = 1, 2\ldots).$
С геометрической точки зрения это означает, что существует шар с центром в нуле, содержащий все элементы последовательности.
Очевидно также, что последовательность ограничена тогда, и только
тогда, когда все ее элементы содержатся в некотором шаре (не обязательно с центром в нуле).

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности).Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Действительно, пусть $x =\displaystyle \lim_{v\to+\infty}x_{v}$ . Обозначим через $V$ шар единичного радиуса с центром в точке $x$ . По определению предела, в этом шаре находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера $N$ . Вне $V$ находится разве что конечное число элементов $x_{ν}$ . Положим $\rho = max\left\{1, |x_{1} − x|,\ldots,|x_{N−1} − x|\right\}$ и получим, что в $\bar{B}\left(x,\rho\right)$ находятся все $x_{ν} (ν=1,2,\ldots),$ т. е. последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ ограничена.

Рассмотрим последовательность $\displaystyle\left(\left(-1\right)^{v},\frac{1}{v},\frac{1}{2^{v}}\right)\left(ν = 1, 2,\ldots\right)$ точек в пространстве $R^{3}.$ Эта последовательность предела не имеет, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности. Легко видеть, что эта последовательность ограничена. Действительно, имеем $|x_{ν}|\leqslant \sqrt{3}.$ Последовательность $\displaystyle y_{ν} = \left(\frac{v+1}{v},\frac{1}{v},\frac{2v-1}{v+3}\right)\left(ν = 1, 2,\ldots\right)$ точек из $R^3,$ очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2).$

Для того чтобы последовательность точек $x_{ν}\in R^{n}$ сходилась к точке $x \in R^{n}$ , необходимо и достаточно, чтобы при каждом $i = 1,\ldots, n$ числовая последовательность $\left\{x^{i}_{v}\right\}^{+\infty}_{i=1},$ составленная из $i$ -х координат точек $x_{ν}$ , сходилась к $i$ -й координате $x^{i}$ точки $x.$

Необходимость. Пусть

$x_{ν}\to x$ Тогда из неравенства

$|x^{i}_{v} — x^{i}|\leqslant|x_{v}-x|(i = 1,\ldots, n)$ , которое следует из определения длины, получаем, что стремление к нулю правой части влечет стремление к нулю левой части при любом

$i.$
Достаточность. Воспользуемся неравенством

$\displaystyle|x_{ν} − x| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x^{i}_{v}-x^{i}\right)^{2}}\leqslant\sum_{i=1}^{n}|x^{i}_{v}-x^{i}|.$ Поскольку при каждом

$i = 1,\ldots, n$ имеем

$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}^{i}=x^{i},$ то для любого

$i$ найдется такое

$N_{i},$ что при каждом

$ν \geqslant N_{i},$ справедливо

$\displaystyle|x^{i}_{ν} − x^{i}|<\frac{\eps}{n}.$ Если положим

$N = max\left(N_{1},\ldots, N_{n}\right)$ , то для любого

$ν \geqslant N$ получим

$|x_{ν} − x|<\eps,$ т.е.

$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}^{i}=x.$

Пусть $\left\{x_{ν}\right\},\left\{y_{ν}\right\}$ – две последовательности точек из $R^{n}$ такие, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}=x ,\displaystyle\lim_{v\to+\infty}y_{v}=y$ и $\left\{α_ν\right\}$ – последовательность действительных чисел, такая, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\alpha_{v} = \alpha.$ Тогда

$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\left(x_{v}+y_{v}\right) = x + y$
$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\alpha_{v}x_{v} = \alpha x$
$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\left(x_{v}\cdot y_{v}\right) = x \cdot y$
$\displaystyle\lim_{v\to+\infty}|x_{v}| = |x|$

Очевидно
Поскольку последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ сходится, то она ограничена. Пусть $|x_{ν}|\leqslant M.$ Тогда, в силу неравенства треугольника, имеем
$|\alpha_{ν}x_{ν} − \alpha x| \leqslant |\alpha_{ν}x_{ν} − \alpha x_{ν}| + |\alpha x_{ν} − \alpha x|=$ $=|\alpha ν − \alpha||x_{ν}| + |\alpha||x_{ν} − x| \leqslant M|\alpha_{ν} − \alpha| + |\alpha||x_{ν} − x|.$ Отсюда следует 2.
Пользуясь неравенством Коши и неравенством треугольника, ограниченностью последовательности ${y_{ν}}$ (т. е. $|y_{ν}| \leqslant M$ ) и свойствами скалярного произведения, получаем
$|x_{ν} \cdot y_{ν} − x \cdot y|\leqslant$ $|x_{ν} \cdot y_{ν} − x \cdot y_{ν}| + |x \cdot y_{ν} − x \cdot y| =$ $= |(x_{ν}−x)\cdot y_{ν}|+|x\cdot\left(y_{ν}−y\right)| \cdot |x_{ν}−x||y_{ν}|+|x||y_{ν}−y| \leqslant$ $M|x_{ν}−x|+|x||y_{ν}−y|.$
Отсюда, очевидно, следует 3.
Для доказательства 4. достаточно показать, что
$||x_{ν}| − |x|| \leqslant |x_{ν} − x|.$
Это неравенство, в свою очередь, вытекает из следующих двух очевидных неравенств: $|x_{ν}| \leqslant |x| + |x_{ν} − x|, |x| \leqslant |x_{ν}| + |x − x_{ν}|.$

Последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если для каждого $\eps > 0$ найдется такой номер $N$ , что для любых двух номеров $ν, \mu \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_{ν} − x_{\mu}| < \eps.$

Для того чтобы последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ точек в $R^{n}$ была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость. Пусть

$\displaystyle \lim_{ν\to+\infty}x_{ν} = x.$ Зададим

$\eps > 0$ и найдем такой номер

$N,$ что для всех

$ν \geqslant N$ справедливо неравенство

$|x_{ν} − x|<\eps$ . Если

$ν,\mu \geqslant N$ , то, в силу неравенства треугольника,получим

$\displaystyle|x_{v}-x_{\mu}\leqslant|x_{v}-x|+|x_{\mu}-x|<\frac{\eps}{2}+\frac{\eps}{2} = \eps$ а это означает, что последовательность фундаментальна.
Достаточность. Пусть последовательность

$\left\{x_{ν}\right\}$ фундаментальна. Покажем, что она сходится. Для этого достаточно установить, что для каждого

$i = 1,\ldots, n$ числовая последовательность

$\left\{x^{i}_{v}\right\}$ является сходящейся. Но это сразу следует из неравенства

$|x^{i}_{v} — x^{i}_{\mu}|\leqslant |x_{v}-x_{\mu}|$ Действительно, поскольку последовательность

$\left\{x_{ν}\right\}$ фундаментальна, то и числовая последовательность

$\left\{x^{i}_{v}\right\}$ также фундаментальна. Применяя теперь критерий Коши сходимости числовых последовательностей, получаем, что последовательность

$\left\{x^{i}_{v}\right\}$ сходится. Обозначим

$x^{i} = \lim_{v\to+\infty}x^{i}_{v}(i =1,\ldots, n)$ . Тогда получим, что последовательность

$\left\{x_{ν}\right\}$ сходится к

$x = \left(x^{1},…,x^{n}\right)$

Следующая теорема дает еще одно равносильное определение предельной точки множества.

Для того чтобы точка $x \in R^{n}$ являлась предельной точкой множества $E$ , необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ попарно различных точек множества $E$ , сходящаяся к $x.$

Необходимость. Пусть

$x$ – предельная точка множества

$E.$ Выберем произвольную точку

$x_{1}\in E,$ отличную от

$x$ . Далее, выберем точку

$x_{2}\in E$ , отличную от

$x,$ так, чтобы было выполнен неравенство

$|x−x_{2}| < \frac{1}{2}|x-x_{1}|.$ Продолжая этот процесс, получим последовательность точек

$x_{ν} \in E, x_{ν} \neq x,$ и таких, что

$|x − x_{ν}|<\frac{1}{2}|x-x_{v}|.$ Из последнего неравенства следует, что все точки xν попарно различны. Кроме того, из неравенства

$|x_{ν} − x| < 2^{1-v}|x_{1} − x|$ вытекает, что

$\displaystyle\lim_{ν\to+\infty}x_{ν} = x.$
Достаточность. Пусть

$\displaystyle\lim_{ν\to+\infty}x_{ν} = x$ и точки

$x_{ν} \in E$ попарно различны. Тогда можно считать, что ни одна из них не совпадает с точкой

$x$ . Поскольку, в силу определения предела, любая окрестность точки

$x$ содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, то

$x$ – предельная точка множества

$E.$

Лемма Больцано – Вейерштрасса. Из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть $\left\{x_{ν}\right\}$ – ограниченная последовательность. Обозначим через $E$ множество значений этой последовательности. Рассмотрим два случая.

Если множество $E$ конечно, то найдется такая строго возрастающая последовательность индексов $ν_{1} < ν_{2} <\ldots,$ что $x_{ν1} = x_{ν2} = \ldots$ Это
означает, что подпоследовательность $\left\{x_{ν_{k}}\right\}$ сходится.
Пусть множество $E$ бесконечно. Поскольку оно еще и ограничено, то $E$ имеет хотя бы одну предельную точку $x$ . По предыдущей теореме, существует последовательность попарно различных точек из множества $E$ , сходящаяся к $x$ . Эти точки множества $E$ являются элементами последовательности $\left\{x_{ν}\right\}$ и, очевидно, можно считать, что номера $ν_{1}, ν_{2},\ldots$ этих элементов последовательности строго возрастают. Таким образом, мы получили подпоследовательность
$\left\{x_{ν_{k}}\right\}$ , сходящуюся к $x$ .

Можно было дать и прямое доказательство леммы Больцано – Вейерштрасса, аналогичное тому, что было приведено в одномерном случае (основанное на методе деления отрезка). Для этого нужно взять сегмент, содержащий все $x_{ν}$ , и, проводя последовательно деление его сторон пополам, выбирать каждый раз тот частичный сегмент, в котором находится бесконечно много элементов последовательности $\left\{x_{ν}\right\}$ .Проведите самостоятельно.

Пример 1.

Последовательность $\displaystyle\left(\frac{1}{n}+1,\left(-1\right)^{n}\right)$ расходится, так как предел $\left(-1\right)^{n}$ не существует, однако можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{v_{i}}=\left(\frac{1 }{i}+1,\left(-1\right)^{n}\right),(i=2,4,…,2n),$ которая будет сходиться к точке $\displaystyle K \left(-1;1\right).$

[свернуть]

Пример 2.

Найти предел $\displaystyle x_{n}=\left(\frac{n+1}{n},\frac{n}{n-1},\frac{2n}{n^{3}+1}\right)$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_{n}}=\left(1+\frac{1}{n},\frac{1+\frac{1}{n}}{1},\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ $=\left(1,1,0\right).$

[свернуть]

Пример 3.

Доказать, исходя из определения, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}{\left(\frac{5n}{n\cdot\sqrt{n}},\frac{2n}{2^{n}}\right)}=\left(0,0\right)$ . $\frac{5n}{n\cdot\sqrt{n}}\leqslant \frac{5}{\sqrt{n}}\leqslant \eps$ $\frac{n}{4^{n}}\leqslant \frac{1}{4^{n}}\leqslant \eps$ Выберем как $N_{\eps}$ число, удовлетворяющее неравенствам $N_{\eps}\geqslant\left(\frac{5}{\eps}\right)^{2}$ и $N_{\eps}\geqslant\ln{\frac{1}{\eps}},$ например $N_{\eps} = \ln{\frac{1}{\eps}}\cdot\left(\frac{5}{\eps}\right)^{2}$ Следовательно, подпоследовательности по каждой переменной фундаментальны и ряд сходится,следовательно $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=\left(0,0\right)$ .

[свернуть]

Последовательности точек

Используйте этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Последовательности точек».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 10
К чему сходится последовательность $\displaystyle x_{n} = \left(\frac{3^{n+1} +2\cdot 4^{n}}{4^{n+1}},\frac{2n^{3}+\left(1-3n\right)^{3}}{8n^{3}-2n}\right)$
- $\left(\frac{1}{2},-\frac{19}{8}\right)$
- $\left(1,\frac{27}{5}\right)$
- $\left(\frac{19}{8},-1\right)$
- $\left(\frac{5}{2},4\right)$
Правильно

Справедливо.

Неправильно

Скорее всего не верно.
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 10
Последовательность $x_{k} = \left(\frac{1}{sin{\frac{\pi k}{2}}},\frac{1}{\sqrt{k}},\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)$ является:
- Фундаментальной
- Расходящейся
- Ограниченой
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 20

Установите соответствие последовательности и ее предела

Элементы сортировки

Предела не существует
$\left(0,0,0\right)$
$\left(\frac{32}{5},\frac{\pi}{2},0\right)$
Предела не существует
${0,\sqrt{n}}$

$\left(n,\frac{2n-5}{n^{2}},\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

$\left(\frac{\sin{n}}{n},\frac{-1^{n}}{n},\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

$\left(\frac{\left(2n-1\right)^5-4}{5n^{5}},\arctan{n},e^{-n}\right)$

$\left(\frac{\sin{n}}{\cos{n}},\frac{\sqrt{n}}{5}\right)$

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 10
Последовательность $\displaystyle\left\{x^{i}_{v}\right\}^{+\infty}_{i=1},$ составленная из $i$ -х координат точек $x_{ν}$ , сходится к $i$ -й координате $x^{i}$ точки $x$ , следовательно последовательность «…» и «…».
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 10
Отсортировать последовательности в порядке возрастания расстояния между началом координат и предельной точке
- $\left( \frac{1}{n},\frac{n}{n^{2}+1}\right)$
- $\left(\frac{5^{n}}{2 \cdot 5^{n}},\arctan{n}\right)$
- $\left(\frac{\left(2n-1\right)^{3}}{4n^{3}}\right)$
- $\left(5^{n},n\right)$
Правильно

Неправильно

10. Последовательности точек в конечномерных пространствах

Последовательности точек в $R^{n}$

Последовательности точек

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Литература

Добавить комментарий Отменить ответ