5.2 Дифференцируемость и арифметические операции

Пусть функции $f$ и $g$ определены на интервале $(a,b)$ и дифференцируемы в точке $x_0$ . Тогда

функция $f + g$ дифференцируема в точке $x_0$ и
$(f + g)’(x_0) = f’(x_0) + g’(x_0);$
функция $f \cdot g$ дифференцируема в точке $x_0$ и
$(f \cdot g)’(x_0) = f’(x_0)g(x_0) + f (x_0)g’(x_0);$
если $g(x) \neq 0 (x \in (a,b))$ , то функция $\dfrac{f}{g}$ дифференцируема в точке $x_0$ и
$(\dfrac{f}{g})’ = \dfrac{f’(x_0)g(x_0) — f (x_0)g’(x_0)}{g^2(x_0)}.$

Утверждение $a)$ очевидно. Докажем $b)$ . Имеем

$\dfrac{(f \cdot g)(x) — (f \cdot g)(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{f(x)g(x) — f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} =$

$= \dfrac{f(x)g(x) — f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} =$

$= \dfrac{f(x) — f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x) + f(x_0)\dfrac{g(x) — g(x_0)}{x-x_0}.$ Используя непрерывность функции

$g$ в точке

$x_0$ , которая следует из дифференцируемости, переходя к пределу при

$x \to x_0$ , получаем

$b)$ .

Для доказательства $c)$ рассмотрим сначала случай $f(x) \equiv 1$ . Тогда

$\dfrac{\dfrac{1}{g(x)} — \dfrac{1}{g(x_0)}}{x — x_0} = — \dfrac {g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \cdot \dfrac1{g(x)g(x_0)} \to -\dfrac{g’(x_0)}{g^2(x_0)} (x \to x_0).$

Непосредственно из определения производной следует, что $(c \cdot f)’(x_0) = c\cdot f’(x_0)$ , где $c$ – постоянная. Поэтому, используя часть $a)$ доказанной теоремы, получаем, что операция дифференцирования является линейной операцией, т. е. производная линейной комбинации двух дифференцируемых функций равна линейной комбинации их производных –

$(\alpha\cdot f + \beta\cdot g)’(x_0) = \alpha\cdot f’(x_0) + \beta\cdot g’(x_0),$ где

$\alpha$ и

$\beta$ – постоянные.

Примеры решения задач

Найти производную функции $f(x) = 3x^2 + 7x + 3$ в точке $x_0 = 3$ .

Решение

Пользуясь вышеописанными формулами и таблицей производных получаем:
$f’(x) = (3x^2 + 7x + 3)’ = (3x^2)’ + (7x)’ + (3)’ = 6x + 7 + 0 = 6x + 7.$ Тогда:
$f’(x_0) = 25$
Найти производную функции $f(x) = e^x\cos x$

Решение

Вновь воспользуемся вышеописанными формулами и таблицей производных, вследствие чего получим результат:
$f’(x) = (e^x\cos x)’ = (e^x)’\cdot\cos x + e^x\cdot(\cos x)’ = e^x\cos x — e^x\sin x$
Найти производную функции $f(x) = \dfrac {\arccos x}{\sqrt x}$ .

Решение

$f’(x) = (\dfrac {\arccos x}{\sqrt x})’ = \dfrac{(\arccos x)’\cdot\sqrt x — (\sqrt x)’\cdot\arccos x}{(\sqrt x)^2} =$
$= \dfrac{-\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{1 — x^2}} — \dfrac{\arccos x}{2\sqrt x}}{x}$

Литература

Дифференцируемость и арифметические операции

Тест для проверки собственных знаний по данной теме.

Задание 1 из 3

1.
Какие из нижеперечисленных свойств функций $f$ и $g$ являются необходимыми для дифференцируемости функции $f\circ g$ в точке $x_0$ ?
- Существование производной функции $f$ в точке $x_0$ .
- Интегрируемость обеих функций в данной точке.
- Дифференцируемость функции $g$ в данной точке.
- Обе функции определены на интервале $(a, b)$ .
- Обе функции принимают неотрицательное значение на интервале $(a, b)$ .
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Установите соответствие между функциями и формулами дифференцирования.

Элементы сортировки

$f’(x)g(x) + f (x)g’(x)$
$const\cdot f’(x)$
$\dfrac{f’(x)g(x) - f (x)g’(x)}{g^2(x)}$
$f’(x_0) + g’(x_0)$

$f(x) = 2x^2\cos x$

$f(x) = e\cos x$

$f(x) = \dfrac{\sin x}{\cos x}$

$f(x) = \sqrt x + lnx$

Задание 3 из 3

3.
Определите и запишите значение $f'(x_0) = (3\sin x_0 + 5\cos x_0)’$ , если $x_0 = 0$ .
Правильно

Неправильно

Добавить комментарий

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

5.2 Дифференцируемость и арифметические операции

Примеры решения задач

Литература

Дифференцируемость и арифметические операции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат