M689. Задача о равнобедренных трапециях и прямоугольнике

Условие

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями $3$ см, $1$ см и высотой $1$ см, нельзя составить прямоугольник.

Решение

Предположим, что прямоугольник удалось составить из $n$ трапеций. Отметим точки, в которые попадают вершины трапеций, в том числе — четыре вершины прямоугольника. У каждой трапеции два острых угла (по $45^\circ$) и два тупых (по $135^\circ$), так что у всех $n$ трапеций вместе одинаковое число острых и тупых углов — по $2n$ .

рис. 3

рис. 4

рис. 5

С другой стороны, ясно, что в каждой из отмеченных точек расположена не меньше острых углов, чем тупых (если там есть один тупой угол, то есть по крайней мере один острый, а если — два тупых, то и два острых); при этом в вершинах прямоугольника могут оказаться острые углы трапеции. Таким образом, острых углов больше, чем тупых (по крайней мере, на 8).

Полученное противоречие доказывает невозможность составления прямоугольника из трапеций.

С. Рукшин