Неравенство верно для ${n = 1}$ или ${2}$, поэтому пусть ${n \geqslant 3}$. Рассмотрим число ${k = \left [ \sqrt{2n} \right ]+1}$ и оценим по отдельности величины
$$A=\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-\ldots-(-1)^{k-1}\left\{\frac{n}{k-1}\right\} \\ $$
и
$$B=\left\{\frac{n}{k}\right\}-\left\{\frac{n}{k+1}\right\}+\ldots+(-1)^{n-k}\left\{\frac{n}{n}\right\} \\ $$
Очевидно,
$$A \leqslant\left\{\frac{n}{1}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}+\ldots,$$
где всего $\left [ \frac{k}{2} \right ]$ слагаемых, причём первое из них равно 0. Далее,
$$A \geqslant-\left\{\frac{n}{2}\right\}-\left\{\frac{n}{4}\right\}-\ldots,$$
где слагаемых $\left [ \frac{k-1}{2} \right ]$ штук. Поскольку для любого натурального $m < k$ имеем
$$\left\{\frac{n}{m}\right\} \leqslant \frac{m-1}{m} \leqslant \frac{k-2}{k-1},$$
то
$$|A| \leqslant\left[\frac{k-1}{2}\right] \cdot \frac{k-2}{k-1} \leqslant \frac{k-2}{2}$$
Поскольку дробная часть — это разность самого числа и его целой части, то
$$B = C-D,$$
где
$$C=\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}+\ldots+(-1)^{n-k} \frac{n}{n}$$
и
$$D=\left[\frac{n}{k}\right]-\left[\frac{n}{k+1}\right]+\ldots+(-1)^{n-k}\left[\frac{n}{n}\right].$$
Поскольку
$$0 \leqslant\left(\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}\right)+\left(\frac{n}{k+2}-\frac{n}{k+3}\right)+\ldots=C=$$
$$\frac{n}{k}-\left(\frac{n}{k+1}-\frac{n}{k+2}\right)-\dots \leqslant \frac{n}{k},$$
то $0\leqslant C \leqslant\frac{n}{k}$ Аналогично, $0\leqslant D\leqslant\left [\frac{n}{k} \right ] \leqslant\frac{n}{k}.$