Рассмотрим произвольное простое число $р$ и докажем, что оно входит в $НОД\left(a^2-1, b^2-1, c^2-1\right)$ и $НОД\left(a,b,c\right)$ в равной степени. Заметим, что если $НОД\left(a, b, c\right)\,\vdots\, p,$ то степень вхождения $р$ в оба НОДа равна наименьшей степени вхождения $р$ в числа $a, b, c$ (если $НОД\left(a, b, c\right)\,\vdots\, p^{k},$ но $c$ не делится на $p^{k+1},$ то $ab+c$ делится на $p^{k},$ но не делится на $p^{k+1}).$ Поэтому достаточно доказать, что любой простой делитель $q$ числа $НОД\left(ab+c, bc+a,ca+b\right)$ делит $НОД\left(a, b, c\right).$ Пусть, скажем, $а$ не делится на $q,$ тогда, поскольку $bc + a$ не делится на $q,$ получаем, что $b$ не делится на $q$ и $с$ не делится на $q.$ Тогда $$(ab + c)(bc + a) — a(ab + c) — c(bc + a) = ac(b^2-1)\,\vdots\, q.$$ Стало быть, $(b^2-1)\,\vdots\, q.$ Аналогично, $(a^2-1)\,\vdots\, q$ и $(c^2-1)\,\vdots\, q$ – это уже противоречие с тем, что $НОД\left(a^2-1, b^2-1, c^2-1\right) = 1.$ Значит, $НОД\left(ab+c, bc+a, ca+b\right) = НОД\left(a, b, c\right).$