Задача из журнала «Квант» (1992 год, 8 выпуск)

Условие

Заряженная частица с кинетической энергией $W$ пролетает мимо длинного равномерно заряженного провода. Частица движется в плоскости, перпендикулярно проводу, и в результате отклоняется на небольшой угол $a$ от первоначального направления полета (смотреть рис.1). Найдите этот угол, если заряд частицы $e$, а заряд единицы длины провода $q$. На расстояние $R$ от длинного провода напряженность поля $E=\frac{q}{(2\pi\varepsilon_{0}R)}$.

Решение

В произвольной точке $A$ на расстояние $R$ от заряженного провода скорость частицы направлена под малым углом $\alpha$ к оси $X$, таким, что

$$\alpha =\frac{\upsilon_{y}}{\upsilon_{x} }.$$

Здесь $\upsilon_{y}$ — вертикальная проекция скорости, а $\upsilon_{x}= \sqrt{2 \frac{W}{m}}$ — ее горизонтальная проекция.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $Y$ (рис.2):

$$F_{y}dt=md\upsilon_{y}$$ где $$F_{y}=eE\cos\mu=\frac{eq\cos\mu}{2\pi\varepsilon_{0}R}$$

Малый промежуток времени $dt$ выразим из соотношения $\nu_{x}=\frac{dx}{dt}$:

$$dt= \frac{dx}{\nu_{x}}=\frac{Rd\mu} {\mu_{x}\cos\mu}$$

За это время вертикальная проекция скорости изменится на величину

$$d\nu_{y}=\frac{F}{m}dt=\frac{eq}{2\pi m\nu}d\mu$$

Полная проекция скорости вдоль оси $Y$ складывается их приращений:

$$\nu_{y}=\int\limits^\frac{ \pi }{ 2 }_{ \frac{- \pi}{2}}d\nu_{y} = \frac{eq}{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}}$$

Итак, искомый угол $\alpha$ получается таким:

$$\alpha=\frac{\nu_{y}}{\nu_{x}}=\frac{ eq }{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}^{2}}=\frac{eq}{4\varepsilon_{o}W}$$

В. Можаев