Задача из журнала «Квант» (1998 год, 5 выпуск)
Условие
Найдите а) наименьшую, б) наибольшую возможную площадь выпуклой фигуры, все проекции которой на оси Oх, Oу и прямую х=у суть отрезки единичной длины.
Ответ: а) √2−1; б)2√2−12.
Решение
Для обоих случаев а) и б) фигура F, о которой идет речь в задаче, заключается внутри шестиугольника, являющегося пересечением трех полос (шириной 1 каждая) (рис.1).
Назовем такой шестиугольник накрывающим. В случае б) фигура F совпадает с накрывающим шестиугольником, достигая наибольшей площади тогда, когда накрывающий шестиугольник симметричен относительно обеих диагоналей квадрата. Эта наибольшая площадь равна 2√2−12, как показывают элементарные вычисления.
Минимальная площадь фигуры F (случай а) реализуется на многоугольнике, который на каждой стороне накрывающего шестиугольника имеет по крайней мере одну вершину. Таким многоугольником будет четырехугольник ABCD (рис.2), который во всех разновидностях накрывающих шестиугольников имеет одну и ту же площадь √2−1.