Задача из журнала «Квант» (1999 год, 3 выпуск)

Условие

Функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $\left[0; 1\right]$ и удовлетворяют равенствам

$$\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \int\limits_{0}^{1} g(x) dx = 1$$ и $$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{f^2(x)+g^2(x)} dx = \sqrt{2} .$$
Докажите, что $f(x) = g(x)$ на отрезке $\left[0; 1\right]$.

Подобным образом читатель может доказать аналогичное утверждение для трех (и более) функций: если $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ непрерывны на отрезке $\left[0; 1\right]$ и

$$\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \int\limits_{0}^{1} g(x) dx = \int\limits_{0}^{1} \varphi(x) = 1 ,$$ а
$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{f^2(x)+g^2(x)+\varphi^2(x)} dx = \sqrt{3},$$ то $f(x) = g(x) = \varphi(x)$ на $\left[0; 1\right]$.

В.Произволов