Смешанное произведение векторов
Определение
Векторы $a, b,$ и $c,$ сведенные к общему началу, образуют тройку векторов.
Определение
Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется правой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшим путём при повороте против часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 1).
Определение
Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется левой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшем путём при повороте по часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 2).
Любая некомпланарная тройка векторов задаёт параллелепипед, ребрами которого выступают эти векторы. Если же векторы компланарны или два из них коллинеарны, то параллелепипед вырождается в параллелограмм.
Определение
Ориентированным объемом параллелепипеда, заданного тройкой векторов, называют его объем с соответствующим знаком. Знак зависит от ориентации тройки: «$+$», если тройка правая, и «$-$», если левая. И обозначают $\pm V.$ В случае вырождения в параллелограмм, ориентированный объем будем считать равным нулю.
Определение
Смешанным произведением называют число $([a, b], c),$ равное скалярному произведению вектора, полученного векторным произведением $a$ и $b,$ на вектор $c.$
Теорема
Смешанное произведение трех векторов равно ориентированному объему параллелепипеда, заданного тройкой этих векторов.
Пусть даны некомпланарные векторы $a, b$ и $c.$ Будем считать, что $a \ne \lambda b,$ где $\lambda \in \mathbb {R}.$ Тройка $\langle a, b, c \rangle$ задает параллелепипед (рисунок 3). Обозначим вектор $[a, b]$ как $d.$ По свойствам векторного произведения вектор $d$ перпендикулярен грани параллелепипеда, образованной векторами $a$ и $b,$ а его длина равна площади $S$ этой самой грани. Тогда $(d, c) = S \left |c \right | \cos {\varphi},$ где $\varphi$ — угол между векторами $c$ и $d,$ а $\left |c \right | \cos {\varphi}$ есть высота параллелепипеда со знаком, который зависит от $\varphi:$ «$+$» при $ \varphi < 90^{\circ}$ и «$-$» при $ \varphi > 90^{\circ}.$ То есть $\pm V = ([a, b], c).$ Что и требовалось доказать.
Замечание
Если $\varphi = 90^{\circ},$ то не выполняется условие компланарности и $\pm V = 0.$
Свойства смешанного произведения
- $(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) =-(b, a, c) =-(c, b, a) =-(a, c, b);$
- $([a, b], c) = (a, [b, c]);$
- $(\lambda a, b, c) = (a, \lambda b, c) = (a, b, \lambda c) = \lambda (a, b, c), \\(a_1 + a_2, b, c) = (a_1, b, c) + (a_2, b, c). \\ (a, b_1 + b_2, c) = (a, b_1, c) + (a, b_2, c), \\(a, b, c_1 + c_2) = (a, b, c_1) + (a, b, c_2);$
- Система векторов $\langle a, b, c \rangle$ компланарная тогда и только тогда, когда $(a, b, c) = 0.$
- Это свойство следует из теоремы, т.к ориентированный объем параллелепипеда в результате перестановки векторов может поменять только знак.
- Следует из теоремы и свойства 1.
- Линейность смешанного произведения имеет место в силу линейности скалярного произведения и свойств 1 и 2.
-
Необходимость. Выше оговаривалось, что при попытке построить параллелепипед на компланарной тройке векторов, он вырождается в параллелограмм. В силу теоремы $(a, b, c) = \pm V = 0.$
Достаточность. Если $ a \ne 0, b \ne0 , c \ne 0$ и $(a, b, c) = 0 ,$ то либо $[a, b]$ равно нулевому вектору, либо $c \perp [a,b]$. Из определения нулевого вектора и свойств векторного произведения следует, что тройка $\langle a, b, c \rangle$ компланарная.
Замечание
В силу свойства 2 смешанное произведение можно записывать как $(a, b, c).$
Координатное представление
Пусть векторы заданы координатами: $a = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3),$ $b = (\beta_1, \beta_2, \beta_3),$ $с = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3).$ Учитывая формулы для скалярного и векторного произведения в координатном представлении , получим
$$(a, b, c) = \gamma_1 \alpha_2 \beta_3 + \gamma_2 \alpha_3 \beta_1 + \gamma_3 \alpha_1 \beta_2-\gamma_1 \alpha_3 \beta_2-\gamma_2 \alpha_1 \beta_3-\gamma_3 \alpha_2 \beta_1 = \\ = \gamma_1 \left| \begin{array}{rr} \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_2 & \beta_3 \end{array} \right|-\gamma_2 \left| \begin{array}{rr} \alpha_1 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_3 \end{array} \right| + \gamma_3 \left| \begin{array}{rr} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrr} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{array} \right| $$
Примеры решения задач
- Найти $(a, b, c).$ Если $ a = (6, 4, -1), b = (-2, 0, 5), c = (3, -4, 7)$
Решение$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 6 & 4 & -1 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -4 & 7 \end{array} \right | = 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & -1 \\ 0 & 5 \end{array} \right|-(-4) \left| \begin{array}{rrr} 6 & -1 \\ -2 & 5 \end{array} \right| + \\ + 7 \left| \begin{array}{rr} 6 & 4 \\ -2 & 0 \end{array} \right| = 60+120-8+56 = 228.$
[свернуть] - Определить ориентацию тройки векторов $\langle a, b, c \rangle.$ Если $ a = (1, 0, 3), b = (-3, 1, 1), c = (-1, 0, -2)$
РешениеПоскольку знак ориентированного объема зависит от ориентации тройки векторов, на которой он построен, то, вычислив его, мы узнаем ориентацию тройки $\langle a, b, c \rangle.$
$$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{array} \right | = -2 + 3 = 1 .$$ $1 > 0 ,$ значит $\langle a, b, c \rangle$ является правой.[свернуть] - Даны векторы $ a = (2, 2, 1), b = (-4, 2, 7), c = (-1, 4, 8)$ и $d = (2, 6, 9).$ Определить все компланарные тройки векторов.
РешениеВоспользуемся свойством 4:
$$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 7 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = 32-14-16+2-56+64 = 12 ;$$
$$(a, b, d) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 7 \\ 2 & 6 & 9 \end{array} \right | = 36+28-24-4-84+72 = 24 ;$$
$$(a, c, d) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 9 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = 72+32-6-8-96+18 = 12 ;$$
$$(b, c, d) = \left | \begin{array}{rrr} -4 & 2 & 7 \\ 2 & 6 & 9 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = -144+32-42-56+192+18 = 0$$
Тройка векторов $\langle b, c, d \rangle$ является компланарной.[свернуть] - Найти угол между векторами $c$ и $[a,b]$ Если $ a = (-1, 6, 1), b = (2, -4, -2), c = (5, -4, 3)$
РешениеИз определения смешанного произведения следует, что $(a, b, c) = \left |[a, b] \right | \left |c \right | \cos {\varphi}$, где $\varphi$ — угол, который и надо найти. Тогда
$ \cos {\varphi} = \frac {(a, b, c)}{\left |[a, b] \right | \left |c \right |}.$ Начнем вычисления: $$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} -1 & 6 & 1 \\ 2 & -4 & -2 \\ 5 & -4 & 3 \end{array} \right | = 12-60-8+20+8-36 = -64$$ $$\left |c \right | = \sqrt {5^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt {25 + 16 + 9} = 5 \sqrt {2}$$ $$\left |[a, b] \right | = \sqrt {\left | \begin{array}{rr} 6 & 1 \\ -4 & -2 \end{array} \right | ^2 + \left | \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right | ^2 + \left | \begin{array}{rr} 1 & 6 \\ 2 & -4 \end{array} \right | ^2} =$$$$= \sqrt {(-8)^2 + 0^2 + (-8)^2} = 8 \sqrt {2}$$ $$ \cos {\varphi} = \frac {-64}{5 \sqrt {2} \cdot 8 \sqrt {2}} = -\frac{4}{5}$$ Тогда $\varphi = \arccos ({- \frac {4}{5}}) \approx 143^{\circ}$[свернуть] - Дан тетраэдр (рисунок 4), построенный на векторах $ a = (2, -2, -3), b = (-6, 2, -5), c = (4, 0, 5).$ Найти его объем.
Рисунок 4
Решение$V_{\text {тетраэдра}} = \frac {S_{\text {осн}} h}{3}$ и $S_{\text {осн}} = \frac {\left |[a, b] \right | }{2},$ тогда $$V_{\text {тетраэдра}} = \frac {V_{\text {параллелепипеда}}}{6} = \frac {1}{6} (a, b, c)$$ $$ V_{\text {тетраэдра}} = \frac {1}{6} \left | \begin{array}{rrr} 2 & -2 & 3 \\ -6 & 2 & -5 \\ 4 & 0 & 5 \end{array} \right | = \frac {1}{6} ( 20 + 40 + 24-60) = 4 \text {ед}^3$$
[свернуть]
Список литературы
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. — 400 с. — C. 108-113.
- Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 328 с. — С. 71-77.
- Личный конспект на основе лекций Белозерова Г. С.
Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление
Тест для проверки знаний по теме «Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление».
Совет: в матрицах и определителях с числами выравнивание столбцов желательно делать по правому краю.
По работе замечаний нет.
Спасибо за совет, воспользовался им.