Смешанное произведение векторов
Определение
Векторы a,b, и c, сведенные к общему началу, образуют тройку векторов.
Определение
Тройка некомпланарных векторов ⟨a,b,c⟩ называется правой, если направление вектора a совмещается с направлением вектора b кратчайшим путём при повороте против часовой стрелки вокруг вектора c (рисунок 1).
Определение
Тройка некомпланарных векторов ⟨a,b,c⟩ называется левой, если направление вектора a совмещается с направлением вектора b кратчайшем путём при повороте по часовой стрелки вокруг вектора c (рисунок 2).
Любая некомпланарная тройка векторов задаёт параллелепипед, ребрами которого выступают эти векторы. Если же векторы компланарны или два из них коллинеарны, то параллелепипед вырождается в параллелограмм.
Определение
Ориентированным объемом параллелепипеда, заданного тройкой векторов, называют его объем с соответствующим знаком. Знак зависит от ориентации тройки: «+», если тройка правая, и «−», если левая. И обозначают ±V. В случае вырождения в параллелограмм, ориентированный объем будем считать равным нулю.
Определение
Смешанным произведением называют число ([a,b],c), равное скалярному произведению вектора, полученного векторным произведением a и b, на вектор c.
Теорема
Смешанное произведение трех векторов равно ориентированному объему параллелепипеда, заданного тройкой этих векторов.
Пусть даны некомпланарные векторы a,b и c. Будем считать, что a≠λb, где λ∈R. Тройка ⟨a,b,c⟩ задает параллелепипед (рисунок 3). Обозначим вектор [a,b] как d. По свойствам векторного произведения вектор d перпендикулярен грани параллелепипеда, образованной векторами a и b, а его длина равна площади S этой самой грани. Тогда (d,c)=S|c|cosφ, где φ — угол между векторами c и d, а |c|cosφ есть высота параллелепипеда со знаком, который зависит от φ: «+» при φ<90∘ и «−» при φ>90∘. То есть ±V=([a,b],c). Что и требовалось доказать.
Замечание
Если φ=90∘, то не выполняется условие компланарности и ±V=0.
Свойства смешанного произведения
- (a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)=−(b,a,c)=−(c,b,a)=−(a,c,b);
- ([a,b],c)=(a,[b,c]);
- (λa,b,c)=(a,λb,c)=(a,b,λc)=λ(a,b,c),(a1+a2,b,c)=(a1,b,c)+(a2,b,c).(a,b1+b2,c)=(a,b1,c)+(a,b2,c),(a,b,c1+c2)=(a,b,c1)+(a,b,c2);
- Система векторов ⟨a,b,c⟩ компланарная тогда и только тогда, когда (a,b,c)=0.
- Это свойство следует из теоремы, т.к ориентированный объем параллелепипеда в результате перестановки векторов может поменять только знак.
- Следует из теоремы и свойства 1.
- Линейность смешанного произведения имеет место в силу линейности скалярного произведения и свойств 1 и 2.
-
Необходимость. Выше оговаривалось, что при попытке построить параллелепипед на компланарной тройке векторов, он вырождается в параллелограмм. В силу теоремы (a,b,c)=±V=0.
Достаточность. Если a≠0,b≠0,c≠0 и (a,b,c)=0, то либо [a,b] равно нулевому вектору, либо c⊥[a,b]. Из определения нулевого вектора и свойств векторного произведения следует, что тройка ⟨a,b,c⟩ компланарная.
Замечание
В силу свойства 2 смешанное произведение можно записывать как (a,b,c).
Координатное представление
Пусть векторы заданы координатами: a=(α1,α2,α3), b=(β1,β2,β3), с=(γ1,γ2,γ3). Учитывая формулы для скалярного и векторного произведения в координатном представлении , получим
(a,b,c)=γ1α2β3+γ2α3β1+γ3α1β2−γ1α3β2−γ2α1β3−γ3α2β1==γ1|α2α3β2β3|−γ2|α1α3β1β3|+γ3|α1α2β1β2|=|α1α2α3β1β2β3γ1γ2γ3|
Примеры решения задач
- Найти (a,b,c). Если a=(6,4,−1),b=(−2,0,5),c=(3,−4,7)
Решение - Определить ориентацию тройки векторов ⟨a,b,c⟩. Если a=(1,0,3),b=(−3,1,1),c=(−1,0,−2)
Решение - Даны векторы a=(2,2,1),b=(−4,2,7),c=(−1,4,8) и d=(2,6,9). Определить все компланарные тройки векторов.
Решение - Найти угол между векторами c и [a,b] Если a=(−1,6,1),b=(2,−4,−2),c=(5,−4,3)
Решение - Дан тетраэдр (рисунок 4), построенный на векторах a=(2,−2,−3),b=(−6,2,−5),c=(4,0,5). Найти его объем.
Рисунок 4
Решение
Список литературы
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. — 400 с. — C. 108-113.
- Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 328 с. — С. 71-77.
- Личный конспект на основе лекций Белозерова Г. С.
Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление
Тест для проверки знаний по теме «Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление».
Совет: в матрицах и определителях с числами выравнивание столбцов желательно делать по правому краю.
По работе замечаний нет.
Спасибо за совет, воспользовался им.