Теорема (общий ассоциативный закон)

 Формулировка

Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная БАО $latex «*»$. Тогда в «звездном произведении» $latex a_1*a_2*…*a_k$, где $latex k\geq 3$ результат не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство

Индукция по k:

База: Докажем выполнение теоремы при $latex k=3$. Если $latex k=3$, то $latex (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.

Предположение: Предположим, что в выражении $latex a_1*a_2*…*a_k$  при $latex k \leq n$ порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.

Шаг: Докажем для $latex k=n+1$:
$latex 1\leq l \leq n$

$latex \left(a_1*…*a_l \right)*\left(a_{l+1}*…*a_n*a_{n+1} \right)=$ $latex \left(a_1*…*a_l \right)*$ $latex [\left(a_{l+1}*…*a_{m} \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)]$;
$latex a_1*a_2*…*a_l=a$,
$latex a_{l+1}*..*a_m=b$,
$latex a_{m+1}*..*a_{n+1}=c$,
$latex a*\left(b*c \right)=\left(a*b \right)*c$, то есть: $latex \left(a_1*…*a_m \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)$.

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Теорема (Общий коммутативный закон)

Формулировка

Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex «*»$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.

Доказательство

Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим $latex a_{i_j}=a_n$. Исходя из коммутативности операции $latex «*»$,
$latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}=$ $latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}$.
Следовательно, не изменяя результата выражения $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}},$ без ограничения общности рассуждения будем считать, что $latex a_{i_n}=a_n.$ Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$ равен выражению $latex a_1*a_2*…*a_n$. $latex \blacksquare$

Общие ассоциативный и коммутативный законы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 11 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 3

   Введите название закона: 
   Пусть на множестве $А$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex *$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 4

   Зависит ли от порядка следования сомножителей результат произведения двух элементов на множестве:

   Элементы сортировки

   • зависит
   • не зависит
   • не зависит

   • матриц размерности $m \times n$

   • действительных чисел

   • коммутирующих матриц порядка $n$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   Указать случаи, в которых выполняется Общий ассоциативный закон.

   • произведение матриц порядка $n$, когда число перемножаемых матриц более или равно трем.
   • вычисление среднего арифметического трех и более чисел
   • сложение трех и более векторов
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Г. С. Белозеров.  Конспект лекций по линейной алгебре.
2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
3. В. В. Воеводин  «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102).