Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)

Свойство бинарной алгебраической операции $\circ ,$ при котором выполняется условие: $\forall \ x,y \in \mathbb{P}:$ $(x\circ y)=(y\circ x) ,$ где $\mathbb{P}$ — некоторое рассматриваемое множество.

Ассоциативность (сочетательность)

Свойство бинарной алгебраической операции $\circ ,$ при котором выполняется условие: $\forall \ x,y,z \in \mathbb{P}:$ $(x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ где $\mathbb{P}$ — некоторое рассматриваемое множество.

Дистрибутивность (распределительный закон)

Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $\oplus$ и $\otimes$ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $\mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $\forall \ x,y,z \in \mathbb{P}:$ $x\otimes (y\oplus z)$ $=(x\otimes y)\oplus(x\otimes z)$; и/или правой: $(y\oplus z) \otimes x$ $=(y\otimes x)\oplus(z\otimes x)$ дистрибутивности.

Примеры

1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.
   
   Спойлер

   
   Пусть $\small A \in \mathbb{M} _{m \times p} ,B \in \mathbb{M} _{p \times n}:$ $\small C=A\times B;\ C \in \mathbb{M} _{m\times n} \Rightarrow$ $\small c_{ij}= \underset{k=1} {\overset{p} {\sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $\small\forall \ A,B \in \mathbb{M}_{n} \ A\times B \overset{?}{=} B\times A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $\small \underset{k=1} {\overset{m} {\sum }}a_{ik}b_{kj}\overset {?}{=} \underset{k=1}{ \overset{m}{\sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $\small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

   [свернуть]
2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
   $\forall x,y,z \in \mathbb{P}:$ $(x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ то в выражении $a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n}, \,a_{i} \in \mathbb{P} i=\overline{1,n}$ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.
   
   Спойлер

   Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
   База индукции:
   Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $\small \forall \,a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{P}:$ $\small ( a_{1}\circ a_{2})\circ a_{3}= a_{2}\circ (a_{1}\circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
   Предположение индукции:
   $\small \forall \,n \in \mathbb{N}:$результат выражения $\small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
   Шаг индукции:
   Пусть предположение индукции справедливо для $\small \forall \, n \in \mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $\small n+1 .$
   Пусть $\small 1\leq p\leq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $\small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} =$ $\small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ$ $\small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m})\circ$ $\small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
   $\small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) = a$
   $\small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m}) = b$
   $\small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n} \circ a _{n+1}) = c$
   По базе индукции имеем $\small (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c ),$ то есть $\small [ (a _{1} \circ a _{2} \circ …$ $\circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ$ $\small (a _{p+1} \circ …$ $\circ a _{m-1} \circ a _{m}) ] \circ$ $\small (a _{m+1} \circ …$ $\circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1})=$ $\small (a _{1} \circ a _{2} \circ …$ $\circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ$ $\small [ (a _{p+1} \circ …$ $\circ a _{m-1} \circ a _{m}) \circ$ $\small (a _{m+1} \circ …$ $\circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) ].$
   В силу свободы выбора $\small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

   [свернуть]
3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.
   
   Спойлер

   Пусть $A \in \mathbb{M} _{m\times n}; B,C \in \mathbb{M} _{n\times m},$ докажем, что $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.$ Заметим, что $A=\left \| a_{ij} \right \|,$ $B=\left \| b_{ji} \right \|,$ $C=\left \| c_{ji} \right \|,$ $i=\overline{1,m},$ $j =\overline{1,n}$, тогда $A\cdot (B+C)=$ $\ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} \right \| + \left \| c_{ji} \right \|)=$ $\ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} + c_{ji} \right \|) =$ $\ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot (b_{ji} + c_{ji})\right \| =$ $\ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} + \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \|=$ $\ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} \right \| + \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \| =$ $\ A\cdot B+A\cdot C.$
   Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

   [свернуть]

Источники:

• В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
• А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
• А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
• Белозеров Г.С. Конспект лекций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Основные свойства бинарных алгебраических операций.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Алгебра 0%

максимум из 30 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 10

   Как ещё называют коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы? Разместите ответы в соответствующем порядке, не подходящий ни к чему разместите в конце.

   • Переместительный
   • Сочетательный
   • Распределительный
   • Исключительный
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 5

   Какой закон устанавливает связь сразу между двумя операциями?

   • Дистрибутивность
   • Коммутативность
   • Ассоциативность
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 5

   Ассоциативно ли умножение матриц над полем вещественных чисел?

   • Да
   • Нет
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Дистрибутивно ли умножение относительно сложения матриц над полем комплексных чисел?

   • Да
   • Нет, ведь умножение матриц над полем вещественных чисел даже не коммутативно.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   Как ещё называется теорема, приведённая в примере 2?

   • Общий коммутативный закон
   • Общий ассоциативный закон
   • Общий дистрибутивный закон

   Подсказка