Найдем координаты векторов:

$\overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A)$ $=$ $(2-4,~3-(-1),~4-0)$ $=$ $(-2, ~4, ~4)$.
$\overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A)$ $=$ $(-1-4,~4-(-1),~1-0)$ $=$ $(-5,-3, ~1)$.
$\overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A)$ $=$ $(4-4,-3-(-1),~5-0)$ $=$ $(0,-2, ~5)$.

Вычислим смешанное произведение:

$(\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD})$ $=$ $\begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix}$ $=$ $-2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}$ $=$ $-2(-15+2)+5(20+8)$ = $166$.

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V_{ABCD}$ $=$ $\frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})|$ $=$ $\frac{1}{6} \cdot 166$ $=$ $\frac{166}{6} \approx 27,7$ (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

$[\overline{AB},\overline{AC}]$ = $\begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ $=$ $\overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}$ $=$ $\overline{i}(4+12) — \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20)$ $=$ $16 \overline{i} — 18 \overline{j} + 26\overline{k}$ = $(16,-18,~26)$.

Найдем площадь плоскости $\mathbf{(ABC)}$:

$S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]|$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{1256}$ $\approx$ $\frac{1}{2} \cdot 35,4$ $=$ $17,7$.

Ответ: $\mathbf{27,7}$ куб.ед., $\mathbf{17,7}$.

Найдем точки пересечения плоскости $\mathbf{P}$ с осями координат.

Это точки $A(3,~0,~0)$, $B(0,~2,~0)$ и $C(0,~0,~4)$.

Найдем векторы $\mathbf{\overline{AB}}$ и $\mathbf{\overline{AC}}$.

$\overline{AB} = (-3,~2,~0)$;
$\overline{AC} = (-3,~0,~4)$.

Найдем площадь основания:

$S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]|$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{16+144+36}$ $=$ $\sqrt{61}$.

Найдем расстояние от точки $\mathbf{O}$ до плоскости $\mathbf{P}$:

$\rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ $=$ $\frac{12}{\sqrt{16+36+9}}$ $=$ $\frac{12}{\sqrt{61}}$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости $P$ является высотой $h$ пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

$V=\frac{1}{3} S \cdot h$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}}$ $=$ $4$.

Ответ: $\mathbf{4}$.