M1916. О делении равностороннего треугольника на 25 равносторонних

Решение

Поменяем формулировку задачи на эквивалентную, но более удобную для изложения решения:

Исходный равносторонний треугольник [latex]\Delta[/latex] разрезан на 25 равносторонних треугольников, только у одного из которых — обозначим его [latex]\Delta_{1}[/latex] — длина стороны [latex]k\neq 1[/latex]. Требуется найти [latex]k[/latex].

Если длина стороны какого-либо равностороннего треугольника есть целое число [latex]a[/latex], то этот треугольник можно разрезать на [latex]a^{2}[/latex] равносторонних треугольников, у каждого из которых длина стороны [latex]1[/latex].

Хотя бы к одной стороне треугольника [latex]\Delta[/latex] не примыкает треугольник [latex]\Delta_{1}[/latex], а значит, примыкают только треугольники со сторонами [latex]1[/latex], т.е. длина стороны [latex]\Delta[/latex] — целое число [latex]n[/latex]. Точно так же можно рассудить что длина треугольника [latex]\Delta_{1}[/latex] -целое число [latex]k[/latex]. После чего можно записать равенство [latex]n^{2}-k^{2}=24[/latex]. Это целочисленное уравнение, с учетом того, что  [latex]k\neq 1[/latex], имеет только одно удовлетворяющее нас решение: [latex]n=7, k=5[/latex]. У этого решения возможны два воплощения (см. рисунок). На вопрос «какую?» отвечаем: [latex]25[/latex].