Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ . Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$ .

Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$ ); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$ .

Определение

Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$ , то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$ , график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$ , такой, что $F\left(x, y \right)=0$ .

Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$ .

Примеры

Спойлер

$y-x^{2}=0$

График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$ , следовательно функция $y-x^{2}=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$ .

[свернуть]

Спойлер

$xy-1=0$

График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$ , следовательно функция $xy-1=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$ .

[свернуть]

Спойлер

$y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$

График функции не взаимно однозначно проектируется на отрезок $\left [ -0.5;0 \right ]$ , следовательно функция $y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$ .

[свернуть]

Спойлер

$x^{2}+y^{2}-1=0$

А функция $x^{2}+y^{2}-1=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$ , так как её график неоднозначно проектируется на отрезок $\left [ -1;1 \right ]$ .

[свернуть]

Литература

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.

Неявные функции

Тест для закрепления материала.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Если функция $f: A_{F}\rightarrow R$ каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$ , такой, что $F\left(x, y \right)=0$ то:
- Функция F определяет (y), как неявную функцию (x).
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Из данного списка уравнений выберите функции, которые определяют $y$ как неявную функцию $x$ .
- $\ln \frac{y^{2}}{2x}-xy=3x$
- $x^{6}+4x^{2}=-1$
- $x^{2}+y^{2}=1$
- $3x^{3}+xy^{2}=y-2x$

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Установите соответствие.

Элементы сортировки

- это график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ .
- это проекция графика уравнения $F\left(x, y \right)=0$ на ось $X$ .

$G_{F}$

$A_{F}$

Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных