Ряд Тейлора

Ряды Тейлора
Определение и основные свойства

Если

$f\left ( x \right )$ определена в

$U_{\delta }\left ( x_{0} \right )$ и

$\exists f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )$

$k=1,2,…$ , то степенной ряд вида

$\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}$ называется рядом Тейлора функции

$f$ в точке

$x_{0}$ . Пусть функция представима виде степенного ряда

$f\left ( x \right )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left ( x-x_{0} \right )^{n}$

$\mid x-x_{0}\mid$ <

$R$ . Тогда

$f$ бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости, а коэффициенты ряда

$a_{n}=\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}$ .

Таким образом степенной ряд для

$f$ совпадает с рядом Тейлора этой функции в точке

$x_{0}$ .

Замечание. Пусть

$f$ бесконечно дифференцируема в точке

$x_{0}$ . Тогда можно выписать её ряд Тейлора.

$\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}$

Пример. Разложить функцию

$f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2$ в ряд Тейлора по степеням

$\left ( x-1 \right )$ .

Решение:

$f\left ( a \right )=f\left ( 1 \right )=1+4-3+2=4$

${f}’\left ( x \right )=\left ( x^{3}+4x^{2}-3x+2 \right )=3x^{2}+8x-3$

${f}’\left ( a \right )={f}’\left ( 1 \right )=3+8-3=8$

${f}»\left ( x \right )=\left ( 3x^{2}+8x-3 \right )’=6x+8$

${f}»\left ( a \right )={f}»\left ( 1 \right )=6+8=14$

${f}»’\left ( x \right )=\left ( 6x+8 \right )’=6=const$

${f}»’\left ( a \right )={f}»’\left ( 1 \right )=6$

${f}^{\left ( 4 \right )}\left ( x \right )=\left ( 6 \right )’=0$ , все производные, начиная с четвертой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем все в формулу Тейлора:

$f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2=4+\frac{8}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{14}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{6}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+0+0+0+…=4+8\left ( x-1 \right )+7\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{3}$ .

Спойлер

Источники

В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс математического анализа том 2 (стр. 60-70)

Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.2

Ряды Тейлора

Тест для закрепления материала.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Следующий ряд является рядом Тейлора для функции $e^{x}$ :
- $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$
- $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k}\frac{x^{2k}}{\left ( 2k \right )!}$
- $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left ( 2k+1 \right )!}$
- $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k+1}\frac{x^{k}}{k}$
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 1

Найти соответствие между функциями и их рядом Тейлора.

Элементы сортировки

$1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )\left ( \alpha -\left ( k+1 \right )\right )}{k!}x^{k}$
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k}\frac{x^{2k}}{\left ( 2k \right )!}$
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left ( 2k+1 \right )!}$
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left ( -1 \right )^{k+1}\frac{x^{k}}{k}$

$\left ( 1+x \right )^{\alpha }$

$\cos x$

$\sin x$

$ln\left ( 1+x \right )$

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Числа $a_{n}=\frac{f^{\left (n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}$ называются:
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно

Таблица лучших: Ряды Тейлора

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ряды Тейлора

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Ряды Тейлора

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат