Processing math: 100%

M447. Задача об остроугольном треугольнике

Задача из журнала «Квант»(1977, №6)

Условие

В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO (где O — центр описанной окружности) продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и BC треугольника. Оказалось, что ^BDE=50∘, а ^CED=30∘. Найдите величины углов треугольника ABC и докажите равенства |AE|=|ED|, |CE|=|CB|, |CD|=|CO|.

Решение

Величина угла A находится легко (см. рис. 1): поскольку ^BOC=^EOD=180∘−30∘−50∘=100∘, величина вписанного угла A=50∘. Заметим также, что ^OBC=^OCB=40∘ (поскольку |BO|=|CO|).

Рис. 1

Рис. 1

Найти величины других углов треугольника ABC можно с помощью теоремы синусов. Положим ^EBD=φ. Тогда ^OEB=100∘−φ, ^ABC=φ+40∘, ^ACB=90∘−φ, ^OCD=50∘−φ, ^ODC=φ+50∘; таким образом, 0∘<φ<50∘. Из треугольников ODE,OBE и OCD находим: sin50∘sin30∘=|OE||OD|=|OE||OB|⋅|OE||OD|=

=sin^OBEsin^OEB⋅sin^ODCsin^OCD=sinφsin(φ+50∘)sin(100∘−φ)sin(50∘−φ).
Уравнение, из которого мы должны найти φ(0∘<φ<50∘): sinφsin(φ+50∘)sin(100∘−φ)sin(50∘−φ)=2sin50∘,
эквивалентно следующим: 2sin50∘(cos50∘−cos(150∘−2φ))=cos50∘−cos(50∘+2φ),
sin20∘−sin(2φ−40∘)+2sin50∘cos(2φ+30∘)=0,
cos(φ−10∘)sin(30∘−φ)+sin50∘sin(60∘−2φ)=0,
sin(30∘−φ)(cos(φ−10∘)+2sin50∘cos(30∘−φ))=0.
Поскольку cos(φ−10∘) и cos(φ−30∘) положительны при 0∘<φ<50∘, последнее уравнение имеет единственный корень φ=30∘.

Отсюда ^ABC=70∘, ^ACB=60∘/

Далее, ^BEC=70∘⇒|CE|=|CB|; ^ODC=80∘⇒|CD|=|CO|; ^ADE=50∘⇒|EA|=|ED|.

Равенства длин, которые требуется установить в задаче, подсказывают, какие углы должен иметь треугольник ABC. Но даже зная ответ, придумать данное выше тригонометрическое решение трудно. Вместо этого можно рассуждать иначе.

Рис. 2

Рис. 2

Заметим прежде всего, что условия ^OED=30∘,^ODE=50∘ определяют ответ однозначно. Действительно (рис. 2), если на окружности с центром O закрепить точки B и C так, что ^BOC=100∘, и перемещать точку A по дуге B′C′ (симметричной дуге BC) от точки B′ к точке C′, то точка D∈[B′O] будет приближаться к O, а E∈[OC′] — удаляться от O; при этом величина угла ^ODE будет возрастать, а угла ^OED — убывать; значит, только при одном положении A эти величины могут принять нужные значения (50∘ и 30∘).

Рис. 3

Рис. 3

Теперь нужно лишь доказать, что треугольник с углами ˆA=50∘, ˆB=70∘, ˆC=60∘ удовлетворяют условию, то есть что все углы — такие, как указано на рисунке 3:

  1. Достаточно проверить, что DE — биссектриса угла ADB: |AE||EB|=|AE||EC|=|EC||EB|=sin20∘sin70∘sin50∘sin40∘=
    2sin20∘cos20∘2sin50∘sin40∘=sin30∘sin50∘=|AD||DB|.

    Здесь мы снова используем теорему синусов. А вот чисто геометрическое доказательство.

    2. Рис. 4

    Рис. 4

  2. Треугольник ECB имеет ось симметрии, поскольку ^CEB=^CBE. Пусть K — точка, симметричная точке O относительно этой оси (рис. 4). Тогда треугольник KCD равносторонний (|KC|=|OC|=|DC|=a, ^KCD=60∘), и потому |KD|=a, ^DKC=^KDC=60∘, а △KBE≅△OEB, и потому ^BEK=30∘, ^EKB=80∘, |EK|=|OB|=a. Итак, треугольник EKD равнобедренный, ^EKD=40∘, поэтому ^KED=^KDE=70∘, ^ODE=70∘−^ODK=70∘−(80∘−60∘)=50∘, ^OED=70∘−40∘=30∘.

Н. Васильев,
Я. Суконник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *