Теорема о почленном дифференцировании
Если каждая функция fn(x) имеет производную на сегменте [a,b], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте [a,b], а сама последовательность {fn(x)} сходиться хотя бы в одной точке x0 сегмента [a,b],то последовательность {fn(x)} сходиться к некоторой предельной функции fn(x) равномерно на сегменте [a,b], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [a,b] почленно, т.е. всюду на сегменте [a,b] предельная функция имеет производную f′(x) являющуюся предельной функцией последовательности {f′n(x)}
Доказательство. Докажем сначала, что последовательность {fn(x)} сходится равномерно на сегменте [a,b]. Из сходимости числовой последовательности {fn(x0)} и из равномерной сходимости {f′n(x)} на сегменте [a,b] следует, что для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой, что ∣fn+p(x0)−fn(x0)∣<ε2,∣f′n+p(x)−fn(x)∣<ε2(b−a)
для всех n≥N(ε), всех натуральных p и для всех x из сегмента [a,b] Так как для функции [fn+p(t)−fn(t)] при любых фиксированных номерах n и p выполнены на сегменте, ограниченном точками x и x0 все условия теоремы Лагранжа, то между x и x0 найдется такая точка ε такая, что |fn+p(x)−fn(x)|−|fn+p(x0)−fn(x0)|=|f′n+p(ε)−f′n(ε)|(x−x0)
Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим |fn+p(x)−fn(x)|<ε
Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность {fn(x)} сходиться равномерно на сегменте [a,b] к некоторой предельной функции f(x)
Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке x сегмента [a,b] имеет производную.
Фиксируем произвольную точку x сегмента [a,b] и по ней δ>0 такое, что бы δ-окрестность точки x целиком содержалась в [a,b]
Обозначим символом {Δx} множество всех чисел Δx, удовлетворяющих условию 0<|Δx|<δ, при a<x<b, условию 0<Δx<δ при x=a и условию −δ<Δx<0 при x=b и докажем, что последовательность функций аргумента Δx φn(Δx)=fn(x+Δx)—fn(x)Δx
сходится равномерно на указанном множестве {Δx}
Для произвольного ε>0 в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности {f′n(x)} найдется номер N(ε) такой, что |f′n+p(x)−f′n(x)|<ε
Фиксируем теперь произвольное Δx из множества {Δx} и при любых фиксированных номерах n и p применим к функции [fn+p(t)−fn(t)]
по сегменту, ограниченному точками x и (x+Δx), теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число Θ из интервала 0<Θ<1 такое, что [fn+p(x+Δx)—fn(x+Δx)]—[fn+p(x)—fn(x)]Δx= =f′n+p(x+ΘΔx)—f′n(x+ΘΔx)
Последнее равенство можно переписать в виде φn+p(Δx)—φn(Δx)=f′n+p(x+ΘΔx)—f′n(x+ΘΔx)
Из этого равенства заключаем, что |φn+p(Δx)—φn(Δx)|<ε
В силу критерия Коши последовательность {φn(Δx)} сходится равномерно на множестве {Δx}. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке Δx=0. Согласно этой теореме функция f(x+Δx)—f(x)Δx
являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке Δx=0, причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. limΔx→0f(x+Δx)—f(x)Δx=limΔx→0[limn→∞φn(Δx)]= =limn→∞[limΔx→0φn(Δx)]=limn→∞[limΔx→0fn(x+Δx)—fn(x)Δx]=limn→∞f′n(x)
Это и доказывает, что производная предельной функции f(x) в точке x существует и равна limn→∞f′n(x). Теорема доказана.
- Список литературы:
- В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа»
- Функциональный ряд на момент 17.06.2016
маленькая викторина
