Преобразование Фурье (прямое и обратное)

1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье. Пусть $f(x)$ есть комплекснозначная функция действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функции $f(x)$ ( оно обозначается через $F[f]$ или $\hat{f}$) определяется формулой

$$\hat{f}(y)=F[f]=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx\,(1)$$
Обратное преобразование Фурье(обозначается через $F^{-1}[f]$ или $\tilde{f}$) определяется формулой
$$\tilde{f}(y)=F^{-1}[f]=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx\,(2)$$
Предполагается, что интегралы (1) и (2) существуют. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы $$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$ $$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$ существуют и совпадают с соответствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяется как следующие несобственные интегралы:
$$F[f]=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$
$$F^{-1}[f]=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$

2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на $\mathbb{R}$ функций.

Лемма 1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции есть ограниченная и непрерывная на $\mathbb{R}$ функция.

Так как функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то

$$\left|\hat{f}(y)\right|=\left|\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx \right| \leq\intop_{-\infty}^{+\infty} \left| f(x)\right|dx= C_{0}$$ Cледовательно, $\hat{f}(y)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Для доказательства непрерывности функции $\hat{f}(y)$ запишем её в виде

$$\hat{f}(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos{(yx)}dx$$ $$-i\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin{(yx)}dx=$$ $$a(y)-ib(y)$$

и заметим, что, в силу леммы, функции $a(y)$ и $b(y)$ непрерывны на $\mathbb{R}$.

Теорема 1. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ и имеет в каждой точке конечную производную $f'(x)$, то справедливы формулы обращения

$$F^{-1}\left[F\left[f\right]\right]=f,$$ $$F\left[F^{-1}\left[f\right]\right]=f \,(5)$$

Так как выполнены условия теоремы, то справедливо равенство

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}(a(y)cos{(yx)}+b(y)\sin{(yx)}dy$$

а следовательно, и равенства (4) и (5), которые, применяя обозначения (1) и (2), можно записать в виде (5).

 

Литература

• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е издание, 2001г., стр. 641-644.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 3, стр. 290-300