Пусть в пространстве заданы две точки $B_1\left(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2\right),$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$ Из точки $O,$ которая является началом координат, проведем два направленных отрезка $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}.$

Данный рисунок представляет собой геометрическую интерпретацию нахождения разности двух векторов, которой мы и воспользуемся для выведения формулы. Также для удобства введем базисные векторы $i,$ $j,$ $k$ и, разложив по ним вектора $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2},$ получим:

$$\overline{B_1B_2} = \overline{OB_2}-\overline{OB_1} = \alpha_2i + \beta_2j + \gamma_2k-\left(\alpha_1i+\beta_1j+\gamma_1k\right) = \\ =\alpha_2i+\beta_2j+\gamma_2k-\alpha_1i-\beta_1j-\gamma_1k = \\=\left(\alpha_2i-\alpha_1i\right)+\left(\beta_2j-\beta_1j\right)+\left(\gamma_2k-\gamma_1k\right) = \\ = \left(\alpha_2-\alpha_1\right)i+\left(\beta_2-\beta_1\right)j+\left(\gamma_2-\gamma_1\right)k.$$

Отсюда видно, что для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из каждой координаты конца вычесть соответствующую координату начала:

$$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1,\gamma_2-\gamma_1\right).$$

Для случая на плоскости формула примет следующий вид:$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1\right),$ где положение точек $B_1\left(\alpha_1,\beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2\right)$ определяется двумя координатами.

Пример

Найти координаты вектора $\overline{MN},$ если $\overline{NL}\left(-5, 6, 3\right),$ $\overline{LM}\left(4, -2, -6\right),$ а точка $L\left(1, 5, -3\right).$

Решение

Обозначим координаты точки $N\left(x, y, z\right),$ а точки $M\left(m, n, p\right).$ Координаты вектора $\overline{NL}$ можно записать следующим образом: $$\left(1-x, 5-y, -3-z\right) = \left(-5, 6, 3\right),$$ $$\begin{equation*}\begin{cases}1-x = -5, \\ 5-y = 6, \\ -3-z = 3.\end{cases}\end{equation*}$$ Откуда $N\left(6, -1, -6\right).$ Аналогично найдем координаты точки $M:$ $$\left(m-1, n-5, p+3\right) = \left(4, -2, -6\right),$$ $$\begin{equation*}\begin{cases}m-1 = 4, \\ n-5 = -2, \\ p+3 = -6.\end{cases}\end{equation*}$$ Откуда $M\left(5, 3, -9\right).$ Значит $\overline{MN} = \left(6-5, -1-3, -6+9\right) = \left(1, -4, 3\right).$

Ответ: $\overline{MN} = \left(1, -4, 3\right).$

[свернуть]

Смотрите также

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 79)
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, $§$ 3, «Простейшие задачи аналитической геометрии» (стр. 17)