Примеры решения задач

1. Пусть задан многочлен $f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$. Определить, является ли $2$ корнем многочлена $f(x)$. В случае положительного ответа найти его кратность.
   Решение

   Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера. Стоит обратить внимание на то, что хоть и слагаемое вида $a_{1}x^1$ отсутствует в записи, но нулевой коэффициент необходимо не забыть занести в таблицу.

   	$1$	$-3$	$0$	$4$
   $2$	$1$	$-1$	$-2$	$0$
   $2$	$1$	$1$	$0$
   $2$	$1$	$3$

   Из таблицы видно, что многочлен $f(x)$ поделился на $\left(x-2\right)^2$ без остатка, а на $\left(x-2\right)^3$ — нет. Получаем, что $2$ — двукратный корень многочлена $f(x)$.

   [свернуть]
2. Заданы $2$ многочлена $f(x)$, $g(x)$. Известно, что $\alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$ и простой корень многочлена $g(x)$. Найти кратность корня $\alpha$ многочлена $f(x)g(x)$.
   Решение

   Так как $\alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ представим в следующем виде: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^2 f_{1}\left(x\right),$$ где $f_{1}(\alpha) \ne 0$. Аналогично, $g(x)$ можно представить следующим образом: $$g\left(x\right)=\left(x-\alpha\right) g_{1}\left(x\right),$$ где $g_{1}(\alpha) \ne 0$. Тогда, $$f(x)g(x)=\left(x-\alpha\right)^2f_{1}(x)(x-\alpha)g_{1}(x)=\left(x-\alpha\right)^3f_{1}(x)g_{1}(x).$$ Так как $f_{1}(\alpha) \ne 0$ и $g_{1}(\alpha) \ne 0$, то $f_{1}(\alpha)g_{1}(\alpha)\ne0$. Обозначим $f(x)g(x)=h(x)$, $f_{1}(x)g_{1}(x)=h_{1}(x)$, тогда перепишем выражение многочлена $f(x)g(x)$ следующим образом: $$h(x)=\left(x-\alpha\right)^3h_{1}(x),$$ где $h_{1}(\alpha)\ne0$. Тогда по определению $\alpha$ — корень $f(x)g(x)$ третьей кратности.

   [свернуть]
3. Задан многочлен $f(x)=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$. Определить кратность корня $-1$.
   Решение

   Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера.

   	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
   $-1$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$	$0$
   $-1$	$1$	$3$	$3$	$1$	$0$
   $-1$	$1$	$2$	$1$	$0$
   $-1$	$1$	$1$	$0$
   $-1$	$1$	$0$

   Из таблицы видно, что многочлен пятой степени $f(x)$ поделился на $\left(x+1\right)^5$ без остатка. Получаем, что $-1$ — корень пятой кратности.

   [свернуть]
4. Задан многочлен $f(x)=\left(x-2\right)^2(x^2+x-6)$. Определить, является ли $2$ корнем $f(x)$ второй кратности. В случае отрицательного ответа найти его кратность.
   Решение

   По определению, для того, что бы $2$ была корнем второй кратности, необходимо что бы имело место следующее представление: $$f(x)=\left(x-2\right)^2f_{1}(x),\, f_{1}(2) \ne 0.$$ С другой стороны, в нашем случае: $$f_{1}(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3),\, f_{1}(2)=0.$$ Получаем, что $2$ не корень второй кратности. Тогда найдем его кратность. Выразим $f(x)$ подставив $f_{1}(x)=(x-2)(x+3)$: $$f(x)=\left(x-2\right)^3(x+3)=\left(x-2\right)^3f_{2}(x),$$ $f_{2}(2)=(2+3)=5\ne0$. Значит, по определению, $2$ — корень многочлена $f(x)$ третьей кратности.

   [свернуть]
5. Задан многочлен $f(x)=x^8-8x^7+10x^6-x^4$. Найти кратность корня $0$ многочлена $f(x)$.
   Решение

   Представим исходный многочлен следующим образом: $$f(x)=x^4(x^4-8x^3+10x^2-1).$$
   Обозначим $f_{1}(x)=x^4-8x^3+10x^2-1$. Легко убедиться, что $f_{1}(0)=-1\ne0$. Получаем, что, по определению кратного корня, $0$ — корень многочлена $f(x)$ четвертой кратности.

   [свернуть]