Пусть задана матрица A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn),
где
n столбцов и
m строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как
вектора m−мерного
пространства. То есть в таком виде:
α1=(a11,a21,…,am1),
α2=(a12,a22,…,am2),
⋮
αm=(a1n,a2n,…,amn).
Они могут быть
линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:
Определение. Пусть задана матрица A=‖aij‖∈Mm×n(P).
Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы A. Обозначение: rankA.
Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и,
по определению, ранг равен нулю.
Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора n−мерного пространства, а именно: β1=(a11,a12,…,a1n),
β2=(a21,a22,…,a2n),
⋮
βn=(am1,am2,…,amn).
Ранги равны между собой, что следует из
теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что
rankA⩽min{n,m}, где
n — количество столбцов матрицы
A, а
m — количество строк. Этот факт также следует из
теоремы.
Пример. Найти ранг матрицы A=(−132512−654−1−25163203−1009).
Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость:
α1=(−1,5,2), α2=(3,4,0), α3=(2,−1,3),
α4=(5,−25,−10), α5=(12,16,0), α6=(−6,3,9).
В нашем случае она очевидна:
α4=−5⋅α1, α5=4⋅α2, α6=−3⋅α3.
Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и,
по определению,
rankA=3.
Пример. Найти ранг матрицы A=(12−40−3678−2−480).
Ранг столбцов равен
4. Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк
линейно зависимые:
(12−40−3678−2−480)∼(12−40011−580000)∼(12−40011−58).
Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что
«строчный» ранг равен
рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что
rankA=2.