Processing math: 100%

Ранг матрицы

Пусть задана матрица A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),

где n столбцов и m строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектора mмерного пространства. То есть в таком виде: α1=(a11,a21,,am1),
α2=(a12,a22,,am2),
αm=(a1n,a2n,,amn).
Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:

Определение. Пусть задана матрица A=aijMm×n(P).
Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы A. Обозначение: rankA.

Примечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
(000000000).

Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.

Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора nмерного пространства, а именно: β1=(a11,a12,,a1n),

β2=(a21,a22,,a2n),
βn=(am1,am2,,amn).
Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что rankAmin{n,m}, где n — количество столбцов матрицы A, а m — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.

Пример. Найти ранг матрицы A=(1325126541251632031009).

Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: α1=(1,5,2), α2=(3,4,0), α3=(2,1,3),
α4=(5,25,10), α5=(12,16,0), α6=(6,3,9).
В нашем случае она очевидна: α4=5α1, α5=4α2, α6=3α3.
Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, rankA=3.

Пример. Найти ранг матрицы A=(124036782480).

Ранг столбцов равен 4. Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: (124036782480)(1240011580000)(124001158).
Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что rankA=2.

Смотрите также

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, стр. 71
  2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — 2009 стр. 346
  3. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *