Формула Муавра

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

1. Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$
   
   Решение

   Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$: $$r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$ $$\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
   Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$ $$r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$$ Найдём $z:$
   $$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $$\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$$ $$=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$$ $$i^{1323}=-i.$$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем: $$w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$$ $$\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$$
   

2. Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$
   
   Решение

   $$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$$ $$=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$$ $$=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$