Теорема (необходимое условие точки перегиба)
Если точка x0 — точка перегиба функции f(x) и если ∃f»(x) в некоторой окрестности точки x0 (непрерывная в точке x0), то f»(x0)=0.
Доказательство
Докажем методом от противного, т.е предположим, что f»(x0)≠0. Тогда f»(x0)>0 либо f»(x0)<0.
По условию f» непрерывна в точке x0 ⇒ по свойству сохранения знака непрерывной функции получим: ∃δ: ∀xϵUδ(x0), signf»(x)=signf»(x0), т.е по достаточному условию строгой выпуклости f»(x)>0 ∀xϵ(a;b) (функция выпукла вниз) или f»(x)<0 ∀xϵ(a;b) (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку x0 направление выпуклости меняется.
Теорема (достаточное условие точки перегиба)
Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если f»(x0) меняет знак при переходе через точку x0, то точка x0 — точка перегиба функции f(x).
Доказательство
Пусть f» меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция f(x) на интервале (x0−δ;x0) функция будет строго выпукла вверх, на интервале (x0;x0+δ) — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку x0 направление выпуклости изменяется ⇒ по определению x0- точка перегиба.
Пример:
Найти точки перегиба функции f(x)=3x2−x3.
Решение:
Найдем вторую производную функции: f′=6x−3x2 ⇒ f»=6−6x, значит x=1. Найдем промежутки знакопостоянства функции:
При переходе через точку x=1 функция изменяет направление выпуклости, значит x=1 — точка перегиба графика функции.
Список литературы
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303) .
Точки перегиба
Тест на знание темы «Точки перегиба»
Таблица лучших: Точки перегиба
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
