Получим информацию об остатке.
Теорема (об остатке rn(x) ф-лы Тейлора)
f(t),f′(t),f»(t),⋯,f(n)(t)∈C[x0,x] и ∃f(n+1)(t), где t∈(x0,x). Пусть ф-ция φ∈C[x0,x] и ∃φ′(t)≠0 ∀t(x0,x). Тогда ∃ т. ξ∈(x0,x) : rn(x0,x)=φ(x)−φ(x0)φ‘(ξ)n!∗f(n+1)(ξ)1!∗(x−ξ)n
Введем вспомогательную ф-цию F(t)=f(x)−Pn(t,x), т.е. Pn(t,x)=f(t)+f′(t)1!(x−t)+⋯+f(n)(t)n!(x−t)n
F(t)=f(x)−[f(t)+f′(t)1!(x−t)+f»(t)2!(x−t)2+f(3)(t)3!(x−t)3+⋯+f(n)(t)n!(x−t)n] =−[f′(t)+f»(t)1!(x−t)′+f(3)(t)2!((x−t)2)′+f(4)(t)3!((x−t)3)′+⋯+f(n+1)(t)n!((x−t)n)′]=−[f′(t)+f»(t)(x−t)+(x−t)′f′(t)1!]=[latex s=4]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)}{1!}(x-t) +\frac{f'(t)}{1!}(-1)+ \frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}+\frac {f»(t)}{2!}2(x-t)(-1)+\frac {f^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+3(x-t)^{2}(-1)\frac {f^{(3)}(t)}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}+ n(x-t)^{n-1}(-1)\frac {f^{n}(t)}{n!} \right ][/latex]
F′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n
К паре ф-ций F(t) и φ(t) на [x0,x] применим теорему Коши о конечных приращениях ⇒∃ т. ξ∈(x0,x): f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ);
0⏞F(x)−rn(x0,x)⏞F(x0)φ(x)—φ(x0)=F′(ξ)φ‘(ξ);
Уточняем!
F(x)=f(x)—Pn(x,x)=0;
F(x0)=f(x)−Pn(x0,x)=rn(x0,x);
F′(ξ)=−f(n+1)(ξ)n!(x−ξ)n;
Таким образом мы получаем следующую формулу:
0−rn(x0,x)φ(x)−φ(x0)=−f(n+1)(ξ)n!φ(ξ)(x−ξ)n. Отсюда
rn(x0,x)=φ(x)−φ(x0)φ′(ξ)n!∗f(n+1)(ξ)∗(x−ξ)n.
Список литературы:
1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)
2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.
