Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{»}[/latex]

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция [latex]f(x)[/latex] называется непрерывной слева (справа) в точке [latex]a[/latex], если

[latex]\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a))[/latex].

Теорема

Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a.[/latex]

Спойлер

Необходимость.
Пусть в точке [latex]a[/latex] существует конечный предел, то есть [latex]\exists \delta :\forall x\in (a-\delta ;a+\delta )\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=A[/latex] из чего следует, что этот же предел существует на промежутках [latex](a-\delta ;a)\: \: (a ;a+\delta)[/latex]. Следовательно односторонние пределы существуют и равны между собой.
Достаточность.
Пусть в точке [latex]a[/latex] существуют односторонние пределы, равные между собой [latex]\forall x\in (a-\delta^{‘};a)\: \lim\limits_{x\rightarrow a-0}=A [/latex] и [latex]\forall x\in (a ;a+\delta^{»})\: \lim\limits_{x\rightarrow a+0}=A[/latex] из чего следует, что [latex]\exists \delta_{0}\leqslant min(\delta^{‘} ;\delta^{»}) :\forall x\in (a-\delta_{0};a+\delta _{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=A[/latex].
Теорема доказана. [latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Пример

Дана функция [latex]f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.[/latex]
signx
Выяснить существует ли предел в точке [latex]0.[/latex]

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]\lim\limits_{x\rightarrow -0}\: \rm sgn(x)=-1[/latex] и [latex]\lim\limits_{x\rightarrow +0}\: \rm sgn(x)=1.[/latex] Пределы справа и слева не равны. Согласно вышеприведенной теореме, можно сделать вывод, что предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

[свернуть]

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы: 1 комментарий

  1. Доброго времени суток, не могли бы вы добавить еще определение односторонний пределов по Гейне?

Добавить комментарий для ahmetgaliev Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *