Определение предела последовательности и ее геометрический смысл.

Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

(x_n)  или  (x_n)_{n=1}^{\infty}

иногда используются фигурные скобки:

\{x_n\}_{n=1}^{\infty}.

Пример: числовые последовательности:

1) 1, 2,\dots, n,\dots;

2) 1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots;

3) 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;

Определение. Число  a называется пределом последовательности \{x_n\}, если для каждого \varepsilon >0 существует такой номер  N_{\varepsilon }, что для всех  n>N_{\varepsilon } выполняется неравенство

\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon

Если  a — предел последовательности, то пишут : a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}.

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon.

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность \{ x_{n} \} имеет предел, равный  a, тогда и только тогда, когда последовательность \{ x_{n}-a \} имеет предел, равный нулю, т. е.:

\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности  x_{n}, если:

x_{n}= \frac{n-1}{n}.

Решение:

Докажем, что   \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 . Так как   x_{n}=1-\frac{1}{n}, то \left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}. Возьмем произвольное число  \varepsilon > 0. Неравенство  \left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon будет выполняться, если \frac{1}{n}< \varepsilon. Выберем в качестве N_{\varepsilon}  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}, например, число  N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1. Тогда для всех  n\geq N_{\varepsilon } будет выполняться неравенство  \left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon . По определению предела это означает, что   \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 .

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число a является пределом последовательности   x_{n} , если при всех  n\geq N_{\varepsilon } выполняется неравенство  \left | x_{n}-a \right | < \varepsilon которое можно записать в виде:

a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon

Другими словами, для каждого   \varepsilon > 0 найдется номер   N_{\varepsilon} , начиная с которого все члены последовательности   x_{n}  принадлежат интервалу \left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right ).

Этот интервал называют   \varepsilon-окрестностью точки aи обозначают  U_{\varepsilon }\left ( a \right ).

U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}.

Итак, число  a — предел последовательности  x_{n} , если для каждой  \varepsilon -окрестности точки  a найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

48

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
  2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Таблица лучших: Последовательность

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *