Предел последовательности
Последовательность — это функция натурального аргумента.
Последовательности вида:
[latex]x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots [/latex]
принято компактно записывать при помощи круглых скобок:
[latex](x_n) [/latex] или [latex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/latex]
иногда используются фигурные скобки:
[latex]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/latex].
Пример: числовые последовательности:
1) [latex]1, 2,\dots, n,\dots[/latex];
2) [latex]1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots[/latex];
3) [latex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;[/latex]
Определение. Число [latex]a[/latex] называется пределом последовательности [latex]\{x_n\}[/latex], если для каждого [latex]\varepsilon [/latex]>0 существует такой номер [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для всех [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство:
[latex]\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex]
Если [latex]a[/latex] — предел последовательности, то пишут : [latex]a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}[/latex].
С помощью логических символов это определение можно записать в виде:
[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex].
Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Из определения следует, что последовательность [latex]\{ x_{n} \}[/latex] имеет предел, равный [latex]a[/latex], тогда и только тогда, когда последовательность [latex]\{ x_{n}-a \}[/latex] имеет предел, равный нулю, т. е.:
[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}[/latex]
Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности [latex] x_{n}[/latex], если:
[latex]x_{n}= \frac{n-1}{n}[/latex].
Решение:
Докажем, что [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex]. Так как [latex] x_{n}=1-\frac{1}{n}[/latex], то [latex]\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}[/latex]. Возьмем произвольное число [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Неравенство [latex]\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon[/latex] будет выполняться, если [latex]\frac{1}{n}< \varepsilon[/latex]. Выберем в качестве [latex]N_{\varepsilon}[/latex] какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию [latex]N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}[/latex], например, число [latex]N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1[/latex]. Тогда для всех [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon [/latex]. По определению предела это означает, что [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex].
Геометрический смысл предела
Согласно определению число [latex]a[/latex] является пределом последовательности [latex] x_{n} [/latex], если при всех [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | x_{n}-a \right | < \varepsilon [/latex] которое можно записать в виде:
[latex]a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon [/latex]
Другими словами, для каждого [latex] \varepsilon > 0[/latex] найдется номер [latex] N_{\varepsilon} [/latex], начиная с которого все члены последовательности [latex] x_{n} [/latex] принадлежат интервалу [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex].
Этот интервал называют [latex] \varepsilon[/latex]-окрестностью точки [latex]a[/latex]и обозначают [latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )[/latex].
[latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}[/latex].
Итак, число [latex]a[/latex] — предел последовательности [latex] x_{n} [/latex], если для каждой [latex] \varepsilon [/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex] найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.
Литература:
- Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)
Последовательность
Таблица лучших: Последовательность
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||