Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка x_{0} называется точкой локального максимума функции f(x), если выполняется условие:  \exists U_{\delta }(x_{0}) : \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq f(x).
Аналогично точка x_{0} называется точкой локального минимума функции f(x) , если выполняется условие:  \exists U_{\delta }(x_{0}):\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq f(x).

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка x_{0} — точка экстремума функции f(x), то она критическая.

Доказательство

По условию точка x_{0} — точка экстремума функции f(x) \Rightarrow по теореме Ферма производная {f}'(x_{0})=0 \Rightarrow точка x_{0} является критической.

Пример:

Найти экстремум функции f(x)=x^{3}- 6x^{2}+9x-4.
Найдем производную этой функции:{f}'=3x^{2}-12x+9 \Rightarrow критические точки задаются уравнением 3x^{2}-12x+9 =0. Корни этого уравнения x_{1}=3 и x_{2}=1.

Svg.4.ex

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: f(3)=27- 54+27-4=-4 и f(1)=1-6+9-4=0 \Rightarrow в точке  x_{1}=3 функция имеет минимум, равный -4, а в точке x_{2}=1 функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x)=x^{3}. Построим график этой функции:

Svg.4.ex

Производная данной функции в точке x_{0}=0 {f}'(0)=0 \Rightarrow x_{0} по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x_{0}, кроме, быть может, самой точки x_{0} и непрерывна в этой точке. Тогда:

  1. Если производная {f}' меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку x_{0}: \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)< 0 и \forall x\in (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> 0, то x_{0} — точка строго минимума функции f(x).
  2. Если производная {f}' меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку x_{0}: \forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)> 0 и  \forall x\in (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< 0, то x_{0} — точка строго максимума функции f(x).

Доказательство

Пусть, например, {f}' меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку x_{0} на сегменте \left [ x;x_{0} \right ]. Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: f(x)-f(x_{0}) ={f}'(\xi)(x-x_{0}), \xi \in (x;x_{0}). Поскольку при переходе через точку x_{0} функция меняет знак с «-» на «+», то {f}'(\xi)<0 и x< x_{0}, то x- x_{0}<0 f(x)-f(x_{0})>0.
Аналогично рассмотрим сегмент \left [ x_{0};x \right ], получим
f(x)-f(x_{0})>0 \Rightarrow f(x_{0})< f(x) \Rightarrow   x_{0} — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если x_{0} — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная {f}' (x) меняет знак при переходе через точку x_{0}.

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция f(x), она определена в некоторой окрестности точки x_{0} , ее первая производная {f}'(x_{0})=0 и пусть \exists {f}''(x_{0}), тогда:

  1. Если {f}''(x_{0})>0, то точка x_{0} — точка строгого минимума;
  2. Если {f}''(x_{0})<0, то точка x_{0} — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда {f}''(x_{0})>0. По скольку {f}''(x_{0}) непрерывна, то на достаточно малом интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta), т.к {f}''(x_{0})>0, то {f}'(x_{0}) возрастает в этом интервале. {f}'(x_{0})=0, значит {f}'(x_{0})<0 на интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}) и  {f}'(x_{0})>0 на интервале (x_{0} ;x_{0}+\delta).
Таким образом функция f(x) убывает на интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}) и возрастает на интервале (x_{0} ;x_{0}+\delta) \Rightarrow по первому достаточному условию экстремума функция в точке x_{0} имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если {f}'(x)=0 и {f}''(x)=0, то функция f(x) может и не иметь экстремум в точке x_{0}.

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x_{0} , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть \exists f^{(n)}(x_{0}), n> 2 и  {f}'(x_{0})={f}''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})=0,  f^{(n)}(x_{0})\neq 0. Тогда:

  1. Если n=2k (т.е n — четное), то x_{0} — точка экстремума:
    • если f^{(n)}(x_{0})<0, то x_{0} — точка локального максимума;
    • если f^{(n)}(x_{0})>0, то x_{0} — точка локального минимума;
  2. Если n=2k+1 (т.е n — нечетное), то x_{0} — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки x_{0} с остатком в форме Пеано: f(x)=f(x_{0})+ \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+... + \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+ o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.
По скольку все производные до (n-1) порядка включительно равны нулю получим:  f(x)-f(x_{0})=\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}. Запишем полученное выражение в виде:  f(x)-f(x_{0})=\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]. Выражение [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1. Пусть n=2k \Rightarrow (x-x_{0}) ^{n}> 0,  \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=  \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}). Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку x_{0} зависит от четности n. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.: 1 комментарий

  1. Ссылаетесь на теорему Ферма или лему Ферма? И нужна именно Википедия? Наши ничего не писали про «производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю».
    Разберитесь с формулировками вопросов-ответов в тестах. Они неточны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *