Следствия: остаток в форме Коши и в форме Лагранжа

Следствие 1.

\varphi(t)=x-t;

\varphi'(t)=-1;

r_{n}(x_{0},x)=\frac{0-(x-x_{0})}{-1n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}

r_{n}(x_{0},x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}*(x-x_{0}) — ф-ла Коши остатка.

Следствие 2.

\varphi(t)=(x-t)^{(n+1)};

\varphi'(t)=-(n+1)(x-t)^{n};

r_{n}(x_{0},x)=\frac{0-(x-x_{0})^{(n+1)}}{-1(n+1)(x-x_{0})^{n}n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n};

r_{n}(x_{0},x)=\frac{(x-x_{0})}{(n+1)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n};

r_{n}(x_{0},x)=\frac{(x-x_{0})^{(n+1)}}{(n+1)!}*f^{(n+1)}(\xi) — изящная ф-ла Лагранжа для остатка.

Следствие 3 (ф-ла Тейлора с остатком в изящной ф-ме Лангранжа)

Если f(t), f'(t),\cdots, f^{(n)}(t) \in C[x_{0},x] и \exists f^{(n+1)}(t) для \forall t \in (x_{0},x), то имеет место ф-ла Тейлора с остатком в ф-ме Лагранжа:

f(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}++\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)}, \xi \in (x_{0},x).

Замечание

n=0: f(x)=f(x_{0})+\frac{f'(\xi)}{1!}(x-x_{0})

f(x)-f(x_{0})= f'(\xi)(x-x_{0}) — получили ф-лу конечных приращений Лагранжа.

r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}.

 

Пример 1.

Доказать:

x-\frac {x^{3}}{3!}<sin(x)<x- \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}         \forall x>0

f(x)=sin(x); x_{0}=0;

n=4:
f(x)=\overbrace{f(0)}^0+ \frac {\overbrace{f'(0)}^1}{1!}x+\frac {\overbrace{f''(\xi)}^0}{2!}x^{2}+\frac {\overbrace{f^{(3)}(0)}^{-1}}{3!}x^{3}+\frac {\overbrace{f^{(4)}(0)}^0}{4!}x^{4}+\underbrace{\frac {f^{(5)}(0)}{5!}x^{3}}

sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+sin(x\frac{5}{2}\pi);

sin(x\frac{5}{2}\pi)=sin(x+\frac{\pi}{2})=cos(x);

sin^{(5)}(\xi)=cos(\xi);

sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{cos(\xi)}{5!}x^{5} < x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!};

n=2:
f(x)=\overbrace{f(0)}^0+ \frac {\overbrace{f'(0)}^1}{1!}x+\frac {\overbrace{f''(0)}^0}{2!}x^{2}+\frac {f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3};

sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3} > \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!};

-\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3}> \frac{x^{3}}{3!};

\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3}\leqslant \frac{x^{3}}{3!} \mid \vdots \frac{x^{3}}{3!}, >0,

cos(\xi) \leqslant 1

Пример 2.

Доказать: \mid sin(t)-t\mid\leq \frac{t^{2}}{2}, \forall t \in \mathbb{R}, x_{0}=0;
n=1: f(0)+\frac{\overbrace{f'(0)}^1}{1!}t+\frac{f''(\xi)}{2!}t^{2}

sin(t)=t-\frac{sin(\xi)}{2!}t^{2}
\mid sin(t)-t\mid=\mid \frac{sin(\xi)}{2!}t^{2}\mid=\frac{1}{2} \mid \overbrace{sin(\xi)}^1\mid t^{2}

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

 

 

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Оглавление

На предыдущую

На следующую

Следствия: остаток в форме Коши и в форме Лагранжа: 1 комментарий

  1. Просмотрите тесты. В одном Вы ответ включили в вопрос. Где-то нет вопросительных знаков, где-то пробелов… Мелочи, но…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *