Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть \exists \lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a по определению предела последовательности: \forall \varepsilon >0 \ \exists N_\varepsilon :\forall p\geq N_\varepsilon\ |x_p-a|< \varepsilon

Поскольку \varepsilon произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, \frac{\varepsilon }{2}:
p=n > N_\varepsilon\ \Bigl|x_n-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
p=m > N_\varepsilon\ \Bigl|x_m-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
\Bigl|x_n-x_m\Bigl|=\Bigl|(x_n-a)+(a-x_m)\Bigl|\leq\underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-a\Bigl|}}} + \underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_m-a\Bigl|}}}< \varepsilon
То есть: \Bigl|x_n-x_m\Bigl| < \varepsilon , а значит, \{x_n\}_{n=1}^{\infty} —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1} — ограничена.
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
\forall\varepsilon > 0 \ \exists N_\varepsilon :\forall\ n > N_\varepsilon и \forall\ m >N_\varepsilon  |x_n-x_m| < \varepsilon

Так как \varepsilon произвольное, то возьмем \varepsilon=1 :

\Bigl|x_n\Bigl|=\Bigl|(x_n-x_{N\epsilon})+x_{N\epsilon}\Bigl| \leq\underset{\underset{1}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-x_{N\epsilon}\Bigl|}}}+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|\leq 1+ \Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|
\forall n \geq N_\varepsilon: |x_n|<(1+|x_{N\epsilon}|)=const=C  \Bigl|x_n\Bigl|\leq C
C=\max\{1+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|;\Bigl|x_1\Bigl|,\Bigl|x_2\Bigl|,...,\Bigl|x_{N\varepsilon-1}\Bigl|\} \Rightarrow
\Rightarrow \forall n \epsilon \mathbb{N} : \Bigl|x_n\Bigl|\leq C \Rightarrow
\{x_n\}_{n=1}^{\infty} — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность \{x_n\}_{n=1}^{\infty} имеет сходящуюся подпоследовательность \{{x_{n_k}\}}^{\infty}_{k=1}

Пусть \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a, покажем, что число $a$ и будет пределом всей последовательности \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}:
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} фундаментальная:
\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon : \forall n,m > n_\varepsilon  |x_n-x_m| <\frac{\varepsilon}{2}

Так как \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} сходящаяся:
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a : \forall \varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon :\forall n_k \geq n_{k_\varepsilon}
|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}
\forall \varepsilon>0 : |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon
Возьмём N_\varepsilon = \max\{n_\varepsilon, n_{k_\varepsilon}\} , тогда:\forall \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon : \forall n\geq N_\varepsilon : |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Достаточность доказана.

Пример 1

Докажем, что последовательность x_N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{N} не является фундаментальной.

Решение показать

Пример 2

Доказать, что последовательность, заданная общим членом x_n=\frac{3n}{n+1} фундаментальная.

Решение показать

Список литературы:

Тест на тему: Критерий Коши сходимости последовательности

Тест на проверку знаний по данной теме

Критерий Коши сходимости последовательности: 1 комментарий

  1. В открытых вопросах нужно добавлять несколько вариантов правильного ответа. В тесте на формирование доказательства не учитывается, что необходимость и достаточность можно доказывать в любом порядке. Остальные замечания те же — стили, ссылки

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *