Processing math: 100%

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если f∈C[a;b] , то она достигает своих точных граней, то есть

∃ξ∈[a;b]:f(ξ)=supx∈[a;b]f(x)  и

∃ξ1∈[a;b]:f(ξ1)=infx∈[a;b]f(x) .

Доказательство:

∃ξ∈[a;b]:f(ξ)=supx∈[a;b]f(x)
Обозначим M=supf(x) (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: ∀x∈[a;b]:f(x)≤M
∀ε>0∃xε∈[a;b]:M−ε<f(xε)

Полагая ε=1,12,13,…,1n,… получим последовательность {xn}такую, что для всех n∈Nвыполняются условия ∀n∈N:M−1n<f(xn)≤M откуда получаем limx→∞f(xn) существует подпоследовательность {xnk}  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности {xn}  и точка ξ , такие что limx→∞xnk=ξ ,  где  ξ∈[a;b].
В силу непрерывности функции f в точке ξ limx→∞f(xnk)=f(ξ)

С другой стороны {f(xnk)} — подпоследовательность последовательности {f(xn)}, сходящейся к числу M.
Поэтому  limx→∞f(xnk)=M
В силу единственности предела последовательности заключаем, чтоf(ξ)=M=supx∈[a;b]f(x);

Утверждение ∃ξ∈[a;b]:f(ξ)=supx∈[a;b]f(x) доказано.

Аналогично доказывается ∃ξ1∈[a;b]:f(ξ1)=infx∈[a;b]f(x)
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ: 1 комментарий

  1. Вопрос «Сформулируйте замечание» предполагает копирование туда текста со страницы? Как-то не очень удачно.
    Вейерштрасс заслуживает примеров и иллюстраций.
    Остальное понравилось

    Ответить

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *