Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\leq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат левее $latex c$.
Например: $latex 3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.
В данном случае, число $latex c$ называется верхней границей множества $latex X$.
Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным снизу, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\geq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат правее $latex c$.
В данном случае, число $latex c$ назовём нижней границей множества $latex X$.
Например: $latex 1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.
Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $latex \exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$.
Проще говоря, множество $latex X$ называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .
Предложение: (другая запись ограниченности множества)
Множество $latex X(\mathbb{R})$ ограниченно $latex \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$.
$latex -c \leq x \leq c$
$latex x$ — найбольший элемент (максимум) множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\leq x$.
$latex x$ — найменьший элемент (минимум) множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\geq x$.
Например: $latex x=(0;1]$ не имеет минимума.
Теорема
(принцип Архимеда)
Для $latex \forall x \in \mathbb{R}$ $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>x$, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.
$latex \square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $latex \mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $latex \mathbb{R}$. Тоесть $latex E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $latex \mathbb{N} \leq E$, тогда по аксиоме непрерывности $latex \exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$. Так как $latex c \leq E$, то $latex c$ не является верхней границей. Следовательно, $latex c-1 \notin E$, то есть $latex c-1$ не является верхней границей для $latex \mathbb{N}$. $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$. Так как $latex n \in \mathbb{N}$, то $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Получаем, что $latex n+1 \leq c$. Получили противоречие с тем, что $latex c<n+1$. $latex \blacksquare$
Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
Тестовые вопросы по вышеизложенной теме
Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Источники:
Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.
Подробнее на:
Исправьте формулу в предпоследней строке