Теорема
Если существуют
$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A $
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b $, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x)) $ и справедливо равенство
$latex \lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A $
Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне
$latex
\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a
\Rightarrow
\{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b
\Rightarrow
f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A
$
Примеры
$latex $latex
Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1 $
\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=
\left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]=
\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1 $
\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=
\left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$$latex
\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$$latex
\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$(см. Первый замечательный предел)
Тест
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Математический анализ 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Для чего используется метод замены переменных?
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}[/latex]
Правильно
Неправильно
Правильный ответ 3/7
-
Задание 3 из 5
3.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}[/latex]
Правильно
Неправильно
Правильный ответ 10
-
Задание 4 из 5
4.
Найти предел методом замены переменной
[latex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Правильно
Неправильно
Правильный ответ 1/2
Источники
Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу