Дифференцируемость и арифметические операции

Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: \alpha f(x)\pm\beta g(x), f(x)g(x), \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0);

Причём:

  1. {[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}' = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)(\alpha и \beta — некоторые константы);
  2. {[f(x)g(x)]}' = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x);
  3. {[\frac {f(x)}{g(x)}]}' =\frac{{f}'(x)g(x) - f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0);

Доказательство :

  1. Достаточно доказательства для случая y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);
    y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=
    =y(x + \Delta x) - y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) - \alpha f(x) - \beta g(x)=
    =\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x) =
    =\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = =\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=
    \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = ={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)
    \Rightarrow В общем случае: {[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}' = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x);
  2. y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) - y(x) =
    = f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] - f(x)g(x) =
    = \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow
    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g
    При переходе к пределам получим следующее:
    \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0(в силу непрерывности дифференцируемой функции g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);
    \Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x), что и требовалось доказать;
  3. y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow
    \Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}=
    = \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =
    \frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x) - \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=
    \frac{\Delta f(x)g(x) - \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}
    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} - \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}
    Перейдя к пределам получим:
    \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) - {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}, что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

Примеры:

  • Условие: Найти производную функции f(x)=e^{3x}+\frac{4x}{x^{2}}
    Решение:
    Найдём производную по 1-ому правилу: {(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}'=3e^{3x}+{(\frac{4x}{x^{2}})}', теперь по 3-ему правилу:{(\frac{4x}{x^{2}})}'=\frac{4x^{2}-8x^{2}}{x^{4}}, итого получаем, что {(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}'=3e^{3x}-\frac{4x^{2}}{x^{4}}

Тест:

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.


Таблица лучших: Правила дифференцирования

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Дифференцируемость и арифметические операции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *