Определение

Если $f(x)$ интегрируема в промежутке $\left [ a,b \right ]$ , то она интегрируема и в промежутке $\left [ b,a \right ]$ , причем

$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int}}f(x)dx$

Пример

Вычислить определённый интеграл $\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx$ .

Преобразуем интеграл и затем применим свойство линейности интеграла.

$\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=\underset{-2}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$ $=8x|_{-2}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{4}=48+12-24=36$ .

Свойство 1

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $\left [ a,b \right ]$ , то она интегрируема на произвольном отрезке $\left [ \alpha,\beta \right ] \subset \left [ a,b \right ]$ .

Спойлер

Рассмотрим произвольное разбиение $\tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n}$ отрезка $\left [ \alpha,\beta \right ]$ . Добавив к нему $\left [ a,\alpha \right ]$ и $\left [ \beta,b \right ]$ , мы получим разбиение $\tau _{\left [ a ,b \right ]}$ отрезка $\left [ a,b \right ]$ . По условию интегрируемости $f(x)$ получим :

$0\leq \sum_{x_{k}\in \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]}}^{n}\omega _{k}\Delta x_{k}\leq \sum_{x_{k}\in \tau \left [ a ,b \right ]}\omega _{k}\Delta x_{k}\rightarrow 0$ ,

когда диаметр разбиения $\tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]}$ стремится к нулю. Этот факт и доказывает наше свойство.

[свернуть]

Пример

Ранее мы уже показали, что функция $f(x)=8+2x-x^{2}$ интегрируема на отрезке $\left [ -2, 4 \right ]$ . Согласно первому свойству она также интегрируема на промежутке $\left [ 0,2 \right ]$ .

$\underset{0}{\overset{2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{0}{\overset{2}{\int}}dx+2\underset{0}{\overset{2}{\int}}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int}}x^{2}dx=$ $=8x|_{0}^{2}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{0}^{2}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

Свойство 2 (аддитивность интеграла)

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезках $\left [ a,c \right ]$ и $\left [ c,b \right ]$ , то она также интегрируема на отрезке $\left [ a,b \right ]$ и имеет место равенство

$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$ .

Спойлер

Пусть функция интегрируема в промежутке $\left [ a,b \right ]$ . Интегрируемость функции в промежутках $\left [ a,c \right ]$ и $\left [ c,b \right ]$ , следует из Свойства 1. Рассмотрим разбиение промежутка $\left [ a,b \right ]$ на части $\tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n}$ , причем точку $c$ будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь

$\sum_{a}^{b}f(\xi )\Delta x=\sum_{a}^{c}f(\xi )\Delta x + \sum_{c}^{b}f(\xi )\Delta x$

Каждая из этих сумм имеет предел, который равен соответствующему интегралу для любых точек

$\xi _{k}\in \left [ x_{k},x_{k-1} \right ],(k=1,2,\dots,n)$ ,

когда диаметр разбиения стремится к нулю. Т.е.

$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$

[свернуть]

Пример

Снова возьмём функцию $f(x)=8+2x-x^{2}$ и рассмотрим значения интеграла на промежутках $\left [ -2, 1 \right ]$ и $\left [ 1, 4 \right ]$ .

$\underset{-2}{\overset{1}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{1}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{1}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{1}{\int}}x^{2}dx=$ $=8x|_{-2}^{1}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{1}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{1}=18$

$\underset{1}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{1}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{1}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{1}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$ $=8x|_{1}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{1}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{1}^{4}=18$

Т.е. $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$ .

Литература

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Начало теста

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Что такое численное интегрирование?
- Нахождение производной
- Вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое).
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
Если $f\in \mathbb{R}[a,b]$ и $f\in C[a,b]$ , то $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$ ? $\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$
- $<$
- $>$
- $=$
- $\leq$
- $\geq$
- $\neq$
Правильно

Неправильно

Подсказка

Выберите знак, который должен стоять на месте «?»

Добавить комментарий

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Определение

Пример

Свойство 1

Пример

Свойство 2 (аддитивность интеграла)

Пример

Литература

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат