Теорема. Пусть [latex](X,\tau)[/latex] — произвольное топологическое пространство. Тогда система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:
- Множества [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] будут замкнутыми;
- Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
- Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;
Доказательство
- Обозначим через [latex](X,\tau)[/latex] произвольное топологическое пространство. В таком случае, [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как [latex]X\setminus\varnothing=X[/latex] — открытое множество и [latex]X\setminus X=\varnothing[/latex] — также открытое множество.
- Обозначим через [latex]\left\{ F_{\alpha} \right\}[/latex] систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем [latex]\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex], так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество [latex]X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex] — замкнуто.
- Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: [latex]\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] , так как пересечение конечного числа открытых множеств [latex]G_k[/latex] будет открытым множество, то [latex]X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] — замкнуто.
Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если [latex]X[/latex] — произвольное множество и [latex]\lambda[/latex] семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:
- [latex] X, \varnothing \in \lambda [/latex]
- Пересечение множеств любой подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]
- Объединение множеств любой конечной подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]
Предположим, что [latex]\upsilon[/latex] — семейство дополнений всех различных множеств из [latex]\lambda[/latex]. В таком случае [latex]\upsilon[/latex] будет топологией на [latex]X[/latex], а [latex]\lambda[/latex] — системой замкнутых множеств топологического пространства [latex](X,\upsilon)[/latex].
Литература:
- Александров А. Д., Нецветаев Н.Ю.; Геометрия: Учебное пособие — изд. «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит., 1990 (с.474-478)
- В. Н. Худенко: учебно-методические комплексы Балтийского федерального университета им. И. Канта, «Топология», глава 3
- Конспект лекций З.М. Лысенко.
Свойства замкнутых множеств
Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»
Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |