Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция $f(x)$ принимает наибольшее значение $max$ на отрезке $[a;b]$ в точке $x_{0}$ , если $x_{0}\epsilon [a;b]$ и $\forall x\epsilon [a;b]$ : $f(x_{0})> f(x).$
Аналогично функция $f(x)$ принимает наименьшее значение $min$ на отрезке $[a;b]$ в точке $x_{1}$ , если $x_{1}\epsilon [a;b]$ и $\forall x\epsilon [a;b]$ : $f(x_{1})< f(x).$

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^{2}-4x+6$ на сегменте $[-3;10]$ .

Решение:

Найдем производную функции ${f}'(x)=2x-4$ . Найдем точки, в которых производная равна нулю: ${f}'(x)=2x-4=0$ $\Rightarrow$ $x=2$ . Значение $x=2$ принадлежит сегменту $[-3;10]$ . Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

$f(2)=4-8+6=2$ ;
$f(-3)=9+12+6=27$ ;
$f(10)=100-40+6=66$ .

Таким образом:
$f(x)_{min_{[0;5]}}=f(2)=2$ ;
$f(x)_{max_{[0;5]}}=f(10)=66$ .

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра $h$ , если при заданном объеме площадь полной поверхности $S$ является наименьшей.

Решение:

Пусть $V$ — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности $S=2\pi x^{2}+2\pi hx$ , тогда $V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h$ , где $S_{1}$ — площадь основания цилиндра $\Rightarrow$ $h=\frac{V}{\pi x^{2}}$ .

Тогда $S=2\pi x^{2} +2\pi x\frac{V}{\pi x^{2}}=2(\pi x^{2}+\frac{V}{x})$ . Найдем производную ${S}’$ : ${S}’=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})$ . Найдем стационарные точки: ${S}’=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})=0$ $\Rightarrow$ ${S}’ =\frac{2\pi x^{3}-V}{x^{2}}=0$ $\Rightarrow$ $x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ . Получим: $\frac{x}{h}=\frac{x}{\frac{V}{\pi x^{2}}}=\frac{\pi x^{3}}{V}=\frac{\pi \frac{V}{2\pi }}{V}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $h=2x$ .

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §1(стр 267) .