Остатки формулы Тейлора

Существует 3 основных представления остаточного члена:

1. В форме Лагранжа: $$\large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$ $0< \theta < 1 .$ $$\ $$
2. В форме Коши: $$\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$ $0< \theta_{1} < 1 .$ $$\ $$
3. В форме Пеано: $$\large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \ $$ при $x\rightarrow a .$

Примеры:

1. Написать разложение функции $e^{\sin (x)}$ до $x^{3}$ с остатком в форме Пеано.
   
   Спойлер

   $$e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x))$$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых $x$ и $\sin (x)$ это все равно, что $o(x^{3}) ,$ то есть:
   $e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+$$\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+$$\frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)=$$x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow$$e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})$
   Член с $x^{3}$ аннулируется и, окончательно, имеем: $$e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3})$$ $$\ $$

[свернуть]