Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство:

Предположим, что последовательность $X_{n}$ имеет два различных предела b и a, причем b < a.

Выберем $\varepsilon > 0$ таким, чтобы $\varepsilon$ -oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, $\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}$ . Так как число b — предел последовательности $X_{n}$ , то по заданному $\varepsilon > 0$ можно найти номер N такой, что $X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)$ для всех $n\geq N$ . Поэтому вне интервала $U_{\varepsilon }(b)$ может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал $U_{\varepsilon }(a)$ может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность $X_{n}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $C_{1}$ , что все члены последовательности удовлетворяют условию $X_{n} \geq C_{1}$ , т. е.:

$\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}$

Последовательность $X_{n}$ называется ограниченной сверху, если:

$\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}$

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность $X_{n}$ называется ограниченной, если:

$\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}$

это можно записать и так:

$\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C$

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство:

Пусть последовательность $X_{n}$ имеет предел, равный а. По определению предела для $\varepsilon = 1$ найдем номер N такой, что при всех $n\geq N$ имеет место неравенство $\left | X_{n}-a \right | <1$ . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

$\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |$ .

Поэтому при всех $n\geq N$ выполняется неравенство:

$\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |$ .

Положим $c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )$ , тогда $\left | X_{n} \right | \leq C$ при всех $n\in \mathbb{N}$ , т. е. последовательность $X_{n}$ ограничена.

В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность $\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}$ ограничена, но не является сходящейся.

Если условие $\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C$ не выполняется, т. е.

$\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C$ ,

то говорят, что последовательность $X_{n}$ не ограничена.

Доказать, что последовательность $\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \}$ является ограниченной, если $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b$ , $b\not \neq 0$ и $y_{n}\not\neq0$ , для всех $n\in \mathbb{N}$ .

Решение

Так как $b\not \neq 0$ , то $\left | b \right |> 0$ . По заданному числу $\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}$ в силу определения предела последовательности найдется номер $N_{0}$ такой, что:

$\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}$ .

Используя неравенство для модуля разности

$\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |$

и неравенство $\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}$ , получаем $\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}$ , откуда $\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}$ . И поэтому для всех $n\geq N_{0}$ справедливо неравенство $\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}$ .

Пусть C = max $\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )$ , для всех $n\in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C$ , т. е. $\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}$ — ограниченная последовательность.

Литература:

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42