ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение. Назовем точку x0 предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x0 существует хотя бы одна точка из E, отличная от x0.
Предложение. Если x0 – предельная точка множества E, то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из E. Доказательство. Обозначим через U произвольную окрестность x0. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x0. Тогда среди них найдется точка x1, ближайшая к x0. Но тогда в шаре радиуса |x1−x0|>0 с центром в x0 нет ни одной точки из E, отличной от x0, а это невозможно, поскольку x0 – предельная точка множества E.
Пример. Пусть B0={x:|x|<1} – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же x1 находится на сфере, т. е. |x1|=1, то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть B(x1,ρ) — произвольная окрестность точки x1. Тогда все точки вида y=tx1(1−ρ<t<1) принадлежат B0 и содержатся в B(x1,ρ). Следовательно, x1 является предельной для шара B0 по определению.
Рассмотрим теперь точку x2, такую, что |x2|>1. Докажем, что она не будет предельной для B0. Действительно, предположим, что ρ=|x2|−1>0. Тогда в B(x2,ρ) нет ни одной точки из B0. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка x2 не является предельной для множества B0.
Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.
Определение.Множество E называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.
Условимся считать пустое множество ∅ замкнутым. Пространство Rn, очевидно, является замкнутым по определению.
Литература:
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.234-235)
- Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 351-352)
- Конспект лекций З.М. Лысенко.
Замкнутые множества
Тест по теме «Замкнутые множества»
Таблица лучших: Замкнутые множества
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |