Критерий компактности в n-мерном пространстве (Теорема Гейне – Бореля)

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество K \subset \mathbb{R}^n являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы K было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть K замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент I \subset \mathbb{R}^n, содержащий K. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент I компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество K. Необходимость. Пусть K —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через B_s открытый шар с центром в точке 0 радиуса s. Тогда последовательность шаров\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1} покрывает все пространство \mathbb{R}^n, а следовательно, и множество K. Так как K компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров B_s. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар B^{\ast}. Тогда ясно, что K \subset B^{\ast}, так что K ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества K. Для этого достаточно показать, что любая точка y \notin K, не будет предельной для K. Итак, пусть y \notin K. Рассмотрим множества G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,...). Так как замкнутый шар \overline{B}(y, \frac{1}{k}) – множество замкнутое, следовательно его дополнение G_k открыто. Кроме того, ясно, что \bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}. Поскольку y \notin K, то совокупность множеств G_k (k = 1,2,...) образует открытое покрытие множества K. Пользуясь компактностью K, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие \left\{G_{k_1},...,G_{k_s}\right\} и положим \rho = \frac{1}{max\left\{k_1,...,k_s\right\}} > 0. Отсюда следует, что шар B(y,\rho) не имеет общих точек с множеством K. Получаем, что точка y не будет предельной для K\square

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *