M1611

Формулировка

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую в точке D. Пусть M и N — середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K — середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Доказательство

M1611

Пусть N_{1} — точка, симметричная точке N относительно K (см.рисунок). Тогда bigtriangleup KCN_{1} = bigtriangleup KDN, поэтому CN_{1} = ND и angle N_{1}CK = angle NDK =pi - angle ABN. Заметим ещё, что angle MCK = pi - angle ABM.
Складывая полученные равенства, находим, что angle N_{1}CM = angle MBN. Кроме того, из условия следует, что CM=MB и BN=ND (т.е. BN=CN_{1}). Значит bigtriangleup MCN_{1} = bigtriangleup MBN, откуда MN_{1} = MN.
MK — медиана в равнобедренном треугольнике MNN_{1}, поэтому angle MKN=90^circ.

Замечание

Задача имеет много других решений. Например, можно воспользоваться подобием треугольников MEK и KFN, где E и F — середины отрезков BC и BD соответственно. Эти треугольники имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон: EK и FN, ME и KF; следовательно, перпендикулярны и их третьи стороны.

Кроме того, соображения, использующие композицию поворотов, позволяют отказаться от дополнительного условия в задаче (о том, что точки C и D лежат по разные стороны от A), которое было задано лишь затем, чтобы избежать разбора различных случаев. Действительно, рассмотрим композицию поворотов R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha} — на углы alpha=angle DNB и beta=angle BMC вокруг точек N и M соответственно (углы передпологаются ориентированными).
Заметим, что alpha+beta=180^circ, поэтому R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha}=Z_{x} — центральная симметрия относительно некоторой точки X. Но Z_{x}(D)=(R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha})=R_{M}^{beta}(B)=C, поэтому X — середина отрезка CD, т.е. точка K. Если N_{1}=Z_{K}(N), то N_{1}=(R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha})(N)=R_{M}^{beta}(N), т.е. bigtriangleup NMN_{1}, равнобедренный и angle MKN=90^circ

Д.Терешин

M1611: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *